- 17 декабря 2025
- 8 минут
- 438
Определение собственной частоты колебаний: теория и практика
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Сущность собственных колебаний
В области физики и инженерных наук под собственными (или свободными) колебаниями принято понимать процессы, протекающие в системе без влияния переменных внешних факторов. Источником таких колебаний служит первоначальное смещение одного из параметров от положения равновесия. В целом колебательные процессы — это любые изменения состояния системы, периодически возвращающие её к исходной точке равновесия. К примеру, у маятника отклонения от вертикали закономерно повторяются с определённым интервалом времени.
В реальных макросистемах собственные колебания не могут сохранять постоянную амплитуду — они обязательно затухают из-за неизбежных энергетических потерь. При каждом колебательном процессе происходит постоянное превращение энергии из одной формы в другую: например, запасённая потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно. Следует подчеркнуть, что процессы колебаний различной природы подчиняются универсальным законам, близким к законам распространения волн, и эти взаимосвязи подробно рассматривает теория колебаний и волн.
Главное отличие заключается в том, что волновое движение сопровождается переносом энергии в пространстве, тогда как при колебаниях энергия остаётся внутри системы, переходя между разными её формами.
В зависимости от способа взаимодействия с окружающей средой, колебательные процессы подразделяют на четыре основные категории:
- Вынужденные (под действием внешней периодической силы);
- Автоколебания (система сама управляет поступлением энергии);
- Параметрические (изменяются параметры самой системы);
- Собственные (происходят под действием внутренних сил после выведения из равновесия).
В этом материале акцент будет сделан на разборе именно собственных колебаний: мы рассмотрим, как найти частоту колебаний, которая характеризует систему без внешнего воздействия.
Собственная частота в линейных системах
Если система отклоняется от положения равновесия незначительно, её движение можно описать с помощью принципа суперпозиции. Это означает, что сумма любых допустимых движений системы также будет допустимым движением. Подобные процессы обычно выражаются линейными дифференциальными уравнениями.
В идеальном случае, когда в системе отсутствуют энергетические потери (такую систему называют консервативной), а все её параметры остаются постоянными во времени, любое собственное колебание описывается как совокупность (суперпозиция) так называемых нормальных мод. Каждая из этих нормальных мод изменяется во времени по гармоническому закону (синусоидальному или косинусоидальному) и характеризуется своей уникальной собственной частотой колебаний.
Системы с разным числом степеней свободы
Когда положение всей системы в любой момент можно полностью описать всего одним параметром, такую систему называют одностепенной. Наиболее показательный пример — это классический математический маятник, совершающий колебания в одной фиксированной плоскости; в этом случае его состояние определяется исключительно углом отклонения от положения равновесия.
В естественных и технических системах нередко встречаются объекты, обладающие более чем одной степенью свободы. К примеру, двумя степенями свободы обладают такие примеры, как двойной маятник (где второй маятник крепится к грузу первого) или сферический маятник. Для полного описания положения подобных систем потребуется сразу два независимых параметра. Применительно к сферическому маятнику этими координатами обычно выступают проекции на взаимно перпендикулярные оси. Внешне их движения могут казаться весьма сложными и мало напоминать классические гармонические колебания. Тем не менее, согласно линейному подходу, даже такое сложное движение раскладывается на сумму двух элементарных гармоник — так называемые нормальные моды. Для каждой нормальной моды характерна своя собственная частота колебаний.
В колебательных системах, содержащих N связанных между собой осцилляторов (например, когда несколько шариков соединены пружинами в одну цепочку), количество различных гармоник также будет равно числу осцилляторов — то есть N. Если рассматривать объекты с распределёнными параметрами, такие как струна, пластина или акустический резонатор, то число нормальных колебаний теоретически становится бесконечным. Например, для струны длиной L, закреплённой с обеих сторон, каждая гармоника соответствует такому количеству полуволн, которое может уложиться вдоль всей длины этой струны целое число раз. При известной скорости распространения волны v по струне, спектр возможных частот выражается формулой:
fn = n * (v / 2L), где n = 1, 2, 3...
Данное выражение и является собственная частота формула для идеализированной струны. При наличии дисперсии, то есть зависимости скорости распространения волны от её частоты, такое простое соотношение уже не полностью отражает реальные условия. В действительных физических системах энергия постепенно теряется, поэтому колебания не могут оставаться идеально гармоническими — с течением времени они затухают. Из-за затухания структурированность спектра нарушается: вместо раздельных частот возникает непрерывная область, что приводит к расширению спектральных линий. Если необходимо понять, как определить частоту по графику затухающих колебаний на практике, то обычно находят период — временной интервал между двумя последовательными пиками — а затем рассчитывают частоту как обратную величину к найденному периоду.
Колебания в нелинейных системах и резонанс
Систематизация собственных колебаний в условиях нелинейности становится существенно сложнее. В нелинейных динамических системах часто наблюдается перераспределение энергии между различными гармоническими компонентами спектра. Это может приводить к так называемому эффекту "соревнования мод", когда одни гармоники становятся доминирующими, усиливаются, а другие постепенно гасятся.
Особое место среди явлений, связанных с собственными колебаниями, занимает резонанс. Этот эффект проявляется как значительное увеличение амплитуды отклика системы в тех случаях, когда частота внешнего воздействия становится близкой к определённой резонансной частоте. Для линейных систем с неизменными во времени параметрами резонансные частоты полностью совпадают с собственными частотами колебаний самой системы. Чем выше показатель добротности (а значит, тем ниже потери энергии), тем более выраженным становится отклик в области резонанса.
Рост амплитуды в условиях резонанса продолжается до тех пор, пока количество энергии, подаваемой извне за период колебаний, превышает энергетические потери системы за этот же промежуток времени. Для линейных осциллирующих систем характерно, что подводимая энергия линейно зависит от амплитуды, а величина потерь — от квадрата этой амплитуды. Из этого следует: энергетическое равновесие всегда может быть достигнуто, а максимальная амплитуда со временем устанавливается на определённом уровне.
