Степень статической неопределимости

Степень статической неопределимости

В строительной механике одним из важнейших этапов анализа конструкции считается определение расчетной схемы на предмет возможности вычисления всех возникающих усилий только методами статики. Ключевым здесь будет понятие степени статической неопределимости — это числовой показатель, равный разнице между количеством неизвестных сил (опорных реакций и внутренних напряжений) и числом независимых уравнений равновесия для анализируемой системы. Знание данного параметра критично при выборе расчётных методов для проектирования и анализа сооружений.

Стержневые конструкции, повсеместно внедрённые в строительстве, формируются путем объединения отдельных стержней — элементов, соединённых между собой жёстко или с помощью шарниров. То, как работает система в целом, зависит от типа соединения: если стыки выполняются шарнирно, а внешние силы прикладываются в узлах, в стержнях наблюдаются только осевые (растягивающие или сжимающие) усилия, а такую структуру называют фермой. При наличии жёстких стыков элементы испытывают изгиб, и система образует раму.

Кроме того, стержневые системы делятся по геометрии расположения элементов и воздействующих нагрузок. Когда все узлы и приложенные силы находятся в одной плоскости, это плоская система. Если действующие силы направлены вне плоскости, — это уже плоскопространственный случай. Для пространственных систем характерно размещение стержней и приложенных нагрузок в трехмерном пространстве.

Ключевой критерий деления конструкций — возможность решения через уравнения статики. Статически определимой называют систему, где все силы в элементах и опорах можно найти исключительно из уравнений равновесия. Если же неизвестных больше, чем уравнений, конструкция обладает статической неопределимостью и требует привлечения дополнительных, не статических, условий, основанных на свойствах деформации и совместности.

Чтобы разобраться, как определить степень статической неопределимости, при анализе конструкции прежде всего определяют количество наложенных связей, ограничивающих движение. Связи бывают внешними (фиксируют сооружение относительно основания) и внутренними (ограничивают перемещение отдельных элементов друг относительно друга). Каждая связь добавляет в уравнения равновесия одну неизвестную. Например, для абсолютно жёсткого тела в плоскости нужно три связи: по двум координатам и углу поворота, чтобы полностью исключить движение.

Кинематический подход и алгоритм вычислений

Если стоит задача установить, как определить степень статической неопределимости для плоских стержневых систем, применяется специализированная формула, тесно связанная с кинематическим анализом:

W = 3D - 2Ш - С

В этой зависимости:

• W — количество степеней свободы системы; когда W < 0 — система статически неопределима, а значение |W| соответствует количеству избыточных связей;
• D — число абсолютно жёстких дисков (или узлов), формирующих структуру;
• Ш — количество простых шарниров, устраняющих две степени свободы каждый;
• С — число закрепляющих опор (стержней).

Шарнир снижает возможные перемещения, оставляя возможность взаимного вращения, в то время как опорные стержни ограничивают движение вдоль своей оси. Если посчитать W этой формулой и получить ноль, система довольствуется только уравнениями равновесия и геометрически неизменяема (при условии грамотного расположения связей). При отрицательном значении W абсолютное число покажет степень статической неопределимости — сколько дополнительных условий требуется привлекать в расчёте.

Если система статически неопределима (лишние связи), то только уравнения равновесия для нахождения всех усилий уже не подойдут. Чтобы рассчитать такие конструкции, используют методы, которые учитывают перемещения и совместность деформаций:

1. Метод сил — предполагает определение неизвестных усилий в избыточных связях через уравнения совместимости перемещений и освобождение системы от них на этапе расчета.
2. Метод перемещений — в качестве основных неизвестных принимаются линейные смещения и углы поворота в отдельных точках (узлах) конструкции.

Есть также альтернативный — метод начальных параметров, чаще всего удобен при расчетах балок, но малоэффективен для сложных рам и пространственных структур. Более фундаментален подход через использование интегралов Мора и правил конструкции, позволяющих путем построения эпюр (диаграмм напряжений от нагрузки и единичного воздействия) определять перемещения различными методами. Такой подход дает подробные ответы на вопрос, как определить степень статической неопределимости даже для сложных систем.

Иллюстративный пример

Рассмотрим рамную конструкцию с двумя стойками, закрепленными жёстко в основании, и ригелем. Каждая жёсткая заделка — это 3 внешние связи, всего — 6. Для одной рамы (1 диск) нужно 3 связи, значит три лишних связи — отсюда система трижды статически неопределима.

В результате расчёт статически неопределимых конструкций отличается большей сложностью по сравнению со статически определяемыми, однако такие системы остаются приоритетными для перекрытия крупных пролетов и работы с существенными нагрузками благодаря своей экономии материалов, устойчивости и надёжности.