Электроемкость. Конденсаторы

Что такое электроемкость проводников

Если у нас есть два проводника, изолированных друг от друга, которым мы сообщаем некоторые заряды (обозначим их соответственно $q_1$ и $q_2$), то между ними возникнет определенная разность потенциалов. Ее величина будет зависеть от формы проводников, а также от исходных величин зарядов. Обозначим такую разность $\Delta \phi$. Если мы говорим о разности, возникающей в электрическом поле между двумя точками, то ее обычно обозначают $U$.

В рамках темы данной статьи нам больше всего интересна такая разность потенциалов между проводниками, когда их заряды противоположны по знаку, но равны друг другу по модулю. В таком случае мы можем ввести новое понятие – электрическая емкость (электроемкость).

Конфигурации и размеры проводников, а также свойства диэлектрика определяют величину электроемкости заданной системы. Наибольший интерес для нас представляют проводники особой формы, называемые конденсаторами.

Иногда в задачах мы можем не учитывать его и работать только с той частью электрического поля, которое расположено между обкладками. Однако пренебрегать полем рассеяния допустимо далеко не всегда, поскольку это может привести к ошибочным расчетам из-за нарушения потенциального характера электрического поля.

Рисунок $1.6.1.$ Электрическое поле в плоском конденсаторе.

Рисунок $1.6.2.$ Электрическое поле конденсатора без учета поля рассеяния, не обладающее потенциальностью.

Модуль напряженности электрического поля, которое создает каждая обкладка в плоском конденсаторе, выражается соотношением следующего вида:

$E_1=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$.

Исходя из принципа суперпозиции, можно утверждать, что напряженность $\overrightarrow{E}$ поля, которое создают обе пластины конденсатора, будет равна сумме напряженностей $\overrightarrow{E^{+}}$ и $\overrightarrow{E^{-}}$ полей каждой пластины, то есть $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E^{+}}+\overrightarrow{E^{-}}$.

Векторы напряженностей обеих пластин во внутренней части конденсатора будут параллельны друг другу. Значит, мы можем выразить модуль напряженности их суммарного поля в виде формулы $E=2E_1=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$.

Как рассчитать электроемкость конденсатора

Вне пластин векторы напряженности будут направлены в противоположные друг от друга стороны, значит, $E$ будет равно нулю. Если мы обозначим заряд каждой обкладки как $q$, а ее площадь как $S$, то соотношение $\frac{q}{S}$ даст нам представление о поверхностной плотности. Умножив $E$ на расстояние между обкладками $\left(d\right)$, мы получим разность потенциалов между пластинами в однородном электрическом поле. Теперь возьмем оба этих соотношения и выведем из них формулу, по которой может быть рассчитана электрическая емкость конденсатора.

$C=\frac{q}{∆\phi }=\frac{\sigma ·S}{E·d}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$.

Заполнение пространства между проводниками диэлектрическим материалом может увеличить электроемкость плоского конденсатора в число раз, кратное undefined.

Конденсаторы бывают не только плоскими. Возможны и другие конфигурации, также обладающие специфическими свойствами.

Обозначим проницаемость диэлектрического материала как ε и запишем формулы, по которым можно найти электрическую емкость конденсаторов:

• $C=4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0\mathrm{\epsilon }\frac{{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2}{{\mathrm{R}}_2-{\mathrm{R}}_1}$(сферический конденсатор),
• $C=2\pi {\epsilon }_0\epsilon \frac{L}{\ln {\displaystyle \frac{R_2}{R_1}}}$(цилиндрический конденсатор).

Как рассчитать электроемкость батареи конденсаторов

Способы соединения могут быть разными. Если соединение будет параллельным, то напряжение всех конденсаторов в системе будет одинаково: $U_1=U_{2 }=U$, а заряды можно найти по формулам $q_1={С}_{1}U$ и $q_2=C_{2}U$. При таком соединении вся система может считаться одним конденсатором, электроемкость которого равна $C$, заряд – $q=q_1+q_2$, а напряжение – $U$. В виде формулы это выглядит так:

$С=\frac{q_1+q_2}{U}$ или $C=C_1+C_2$

Рисунок $1.6.3.$ Конденсаторы, соединенные параллельно. $C=C_1+C_2$

Рисунок $1.6.4.$ Конденсаторы, соединенные последовательно: $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

Если же батарея состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов, то заряды обоих будут одинаковы: $q_1=q_2=q$. Найти их напряжения можно так: $U_1=\frac{q}{C_1}$ и $U_2=\frac{q}{C_2}$. Такую систему тоже можно считать одним конденсатором, заряд которого равен $q$, а напряжение $U=U_1+U_2$.

$C=\frac{q}{U_1+U_2}$ или $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

Справедливость обеих формул, приведенных выше, не зависит от количества конденсаторов в батарее.

Рисунок $1.6.5.$ Смоделированное электрическое поле плоского конденсатора.