Вектор электрической индукции

Определение 1

Вектором электрической индукции (электрического смещения) $\vec{D}$ называют физическую величину, определяемую по системе $С И$ :

$\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ , где $ε_{0}$ - электрическая постоянная, $\vec{E}$ - вектор напряженности, $\vec{P}$ - вектор поляризации.

Вектор электрического смещения в СНС определяется как:

$\vec{D} = \vec{E} + 4 π \vec{P}$ .

Вектор индукции

Значение вектора $\vec{D}$ не является только полевым, потому как он учитывает поляризованность среды. Имеется связь с объемной плотностью заряда, выражаемая соотношением:

$d i v \vec{D} = ρ$ .

По уравнению $d i v \vec{D} = ρ$ видно, что для $\vec{D}$ единственным источником будут являться свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках с отсутствующими свободными зарядами вектор электрической индукции является непрерывным. Изменения напряженности поля, вызванные наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе $\vec{D}$ .

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

При наличии изотропной среды запись связи вектора напряженности и вектора электрического смещения запишется как:

$\vec{D} = (ε_{0} \vec{E} + ε_{0} χ \vec{E}) = (ε_{0} + ε_{0} χ) \vec{E} = ε ε_{0} \vec{E}$ .

Где $ε$ – диэлектическая проницаемость среды.

Наличие $\vec{D}$ способствует облегчению анализа поля при наличии диэлектрика. Используя теорему Остроградского-Гаусса в интегральном виде с диэлектриком, фиксируется как:

$\int_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = Q$ .

Проходя через границу разделов двух диэлектриков для нормальной составляющей, вектор $\vec{D}$ может быть записан:

$D_{2 n} - D_{1 n} = σ$

или

$\vec{n_{2}} (\vec{D_{2}} - \vec{D_{1}}) = σ$ ,

где $σ$ – поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков, $\vec{n_{2}}$ - нормаль, проведенная в сторону второй среды.

Формула тангенциальной составляющей:

$D_{2 τ} = \frac{ε_{2}}{ε_{1}} D_{1 τ}$ .

Определение 2

Единица вектора электрической индукции измеряется в системе $С И$ как $\frac{К л}{м^{2}}$ .

Поле вектора $\vec{D}$ изображается при помощи линий электрического смещения.

Определение 3

Определение направления и густоты идет аналогично линиям вектора напряженности. Но линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Пример 1

Имеются пластины плоского конденсатора с зарядом $q$ . Произойдет ли изменение вектора электрической индукции при заполненном воздухом пространстве между пластинами и диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $ε \neq ε_{υ o z d}$ .

Решение

Поле конденсатора в первом случае характеризовалось вектором смещения $(ε_{v o z d} = 1)$ , то есть $\vec{D_{1}} = ε_{v o z d} ε_{0} \vec{E_{1}} = ε_{0} \vec{E_{1}}$ .

Необходимо заполнить пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. При наличии поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. Тогда начинают появляться связанные заряды с плотностью $σ_{s υ}$ на его поверхности. Создается дополнительное поле с напряженностью:

$E' = \frac{σ_{s v}}{ε_{0}}$ .

Векторы полей $\vec{E}'$ и $\vec{E_{1}}$ имеют противоположные направления, причем:

$E_{1} = \frac{σ}{ε_{0}}$ .

Запись результирующего поля с диэлектриком примет вид:

$E = E_{1} - E' = \frac{σ}{ε_{0}} - \frac{σ_{s υ}}{ε_{0}} = \frac{1}{ε_{0}} (σ - σ_{s υ})$ .

Формула плотности связанных зарядов:

$σ_{s υ} = χ ε_{0} E$ .

Произведем подстановку $σ_{s υ} = χ ε_{0} E$ в $E = E_{1} - E' = \frac{σ}{ε_{0}} - \frac{σ_{s υ}}{ε_{0}} = \frac{1}{ε_{0}} (σ - σ_{s υ})$ , тогда:

$σ_{s υ} = χ ε_{0} E$ .

Далее выражаем из $(1.6)$ напряженность поля $Е$ . Формула принимает вид:

$E = \frac{E_{1}}{1 + χ} = \frac{E_{1}}{ε}$ .

Отсюда следует, что значение вектора электрической индукции в диэлектрике равняется:

$D = ε ε_{0} \frac{E_{1}}{ε} = ε_{0} E_{1} = D_{1}$ .

Ответ: вектор электрической индукции не изменяется.

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения — Пример 2