Вихревой характер магнитного поля

Показать, почему для вихревого магнитного поля нельзя представить вектор индукции $\overrightarrow{B}$ в виде градиента магнитного потенциала ${\phi }_m$.

Решение

Возьмем формулу:

$\overrightarrow{B}=-grad{\phi }_m (1.1)$.

Для выражения $(1.1)$ можно применить операцию $rot$:

$rot \overrightarrow{B}=-rot \left(grad{\phi }_m\right) (1.2)$.

Известно значение $rot$:

$rot \left(grad{\phi }_m\right)=0 (1.3)$.

При подстановке $(1.3)$ в $(1.2)$ имеем:

$rot \overrightarrow{B}=0$.

Ответ: Вспомнив теорему о циркуляции, получаем отсутствие токов. В данном случае, представление вектора индукции магнитного поля невозможно в виде магнитного потенциала в области, где проходят токи.

Применение понятия скалярного магнитного потенциала ${\phi }_m$ возможно только в области пространства, где $\overrightarrow{j}=0$.  Данная часть пространства ${\phi }_m$ характеризуется неоднозначностью функции. Показать это.

Решение

Необходимо рассмотреть магнитное поле возле контура с током, как изображено на рисунке $1$. По теореме о циркуляции для любого контура выполнимо равенство:

${\oint }_L\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}=0$.

Рисунок $1$

Если токов нет, магнитное поле становится потенциальным, интеграл, который необходимо взять между $A$ и $B$, не зависит от пути интегрирования, то запись примет вид:

${\int }_{AaB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\int }_{AbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl} (2.2)$.

Отсюда следует:

${\int }_{AbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\int }_A^B\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\phi }_{mA}-{\phi }_{mB} (2.3)$.

Выражение $(2.3)$ может быть рассмотрено в качестве разности скалярных магнитных потенциалов в точках $A$ и $B$. Можно пойти иным путем и принять значение потенциала равным нулю в точке $В$, как выполнялось для нахождения потенциала в электростатике:

${\int }_A^B\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\phi }_{mA} (2.4)$.

При выборе контура, охватывающего какой-либо ток (контур $AcbB$), как показано на рисунке $1$, линейный интеграл по замкнутому контуру от циркуляции вектора индукции по нему будет не равен нулю:

${\oint }_{AcbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}\ne 0 (2.5)$.

Или

${\oint }_{AcbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}\ne {\int }_{AcB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}-{\int }_{AbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}=I\ne 0 (2.6)$

Тогда:

${\int }_{AcB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\int }_{AbB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}+I={\phi }_{mA}-{\phi }_{mB}+I (2.7)$.

При выборе какого-либо пути $AnB$, охватывающего ток в количестве $n$ раз, имеем:

${\int }_{AnB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\phi }_{mA}-{\phi }_{mB}+nI (2.8)$.

Следует задать нулевой потенциал в точке $В$:

${\int }_{AnB}\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}={\phi }_{mA}+nI (2.9)$.

Ответ: Получив уравнение $(2.9)$, очевидно, что скалярный магнитный потенциал является неоднозначной величиной.