Уравнение движения материальной точки

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора $\overline{r}$ и трех проекций $x, y, z$ – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами $r, \upsilon , \phi$;
• цилиндрическая система с координатами $p, z, \alpha$;
• на полярной плоскости с параметрами $r, \phi$.

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

Ее перемещение по уравнению $\left(1\right)$ определено, если имеется указанное положение в любой момент времени $t$. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

$x\left(t\right)=x, y\left(t\right)=y, z\left(t\right)=z \left(2\right)$.

Прямоугольные декартовы координаты $x, y, z$ - это проекции радиус-вектора $\overline{r}$, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление $\overline{r}$ можно найти из соотношений, где $a, \beta , \gamma$ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости $Оху$, тогда применимы полярные координаты $r, \phi$, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

$r=r\left(t\right), \phi =\phi \left(t\right) \left(3\right)$.

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах $q_1, q_2, q_3$, связанных с декартовыми преобразованиями вида $x=x(q_1, q_2, q_3), y=y(q_1, q_2, q_3), z=z(q_1, q_2, q_3) \left(4\right)$, записывается как

$q_1=q_1\left(t\right), q_2=q_2\left(t\right), q_3=q_3\left(t\right) \left(5\right)$.

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора $\overline{r}$ при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с $t$ представлено кинематическими уравнениями $\left(2\right), \left(5\right)$. Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.