Уравнение Майера

Содержание:

Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

Теплоемкость. Уравнение Майера

Определение 1

Переданное телу количество теплоты для его нагревания на $1 К$ получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой $" С "$ :

$С = \frac{δ Q}{d T} (1)$ .

Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

$c_{μ} = \frac{C}{v} (2)$ . Выражение называется молярной теплоемкостью.

Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из $(1)$ , применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

$C = \frac{δ Q}{d T} = \frac{d U + p d V}{d T} (3)$ .

Уравнение Майера для идеального газа

Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров $(p, V, T)$ . Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

$p = p (T, V)$ или $T = T (p, V), V = V (p, T)$ .

При выборе независимых переменных в качестве $V$ и $T$ внутренняя энергия системы выражается в виде функции $U = U (T, V)$ . Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

$d U = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} d T + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} d V (4)$ .

Произведем подстановку из $(4)$ в $(3)$ , тогда

$c = \frac{{(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} d T + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} d V + p d V}{d T} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} + [p + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T}] \frac{d V}{d T} (5) .$

Исходя из формулы $(5)$ , теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

$\frac{d V}{d T} = 0$ .

Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

$C_{V} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} (6)$ .

При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

$C_{p} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} + [p + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T}] {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{p} = C_{V} + [p + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T}] {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{p} (7)$ .

Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

$d U = \frac{i}{2} v R d T (8)$ .

Отсюда следует:

${(\frac{d U}{d V})}_{T} = 0 (9)$ .

Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

$p V = v R t (10)$ .

Значит:

${(\frac{\partial V}{\partial T})}_{p} = \frac{v R}{p} (11)$ .

Произведем подстановку в $(7)$ из $(10)$ и $(11)$ :

$C_{p} = C_{V} + [p + 0] \frac{v R}{p} = C_{V} + v R (12)$ .

Выражение $(12)$ называют выведенным соотношением Майера.

Или для молярных теплоемкостей:

$C_{μ p} = C_{μ V} + R (13)$ .

Пример 1

Найти удельную теплоемкость смеси $16 г$ кислорода и $10 г$ гелия в процессе с постоянным давлением.

Решение

Если $Q$ считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то

$Q = c_{p} m ∆ T (1.1)$ , где $m$ является массой смеси, $c_{p}$ – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.

$Q_{O_{2}}$ - это количество тепла, получаемое кислородом:

$Q_{O_{2}} = c_{p O_{2}} m_{O_{2}} ∆ T (1.2)$ , $m_{O_{2}}$ выражается массой кислорода, $c_{p O_{2}}$ – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.

Для гелия аналогично:

$Q_{H e} = c_{p H e} m_{H e} ∆ T (1.3)$ .

Кроме этого рассмотрим:

$Q = c_{p} m ∆ T = Q_{O_{2}} + Q_{H e} = c_{p O_{2}} m_{O_{2}} ∆ T + c_{p H e} m_{H e} ∆ T (1.4)$ .

Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:

$m = m_{O_{2}} + m_{H e} (1.5)$ .

Произведем выражение теплоемкости $c_{p}$ из $(1.4)$ , учитывая $(1.5)$ . Тогда имеем:

$c_{p} = \frac{c_{p O_{2}} m_{O_{2}} + c_{p H e} m_{H e}}{m_{O_{2}} + m_{H e}} (1.6)$ .

Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:

$c_{μ} = c \cdot μ \to c = \frac{c_{μ}}{μ} (1.7)$ .

Если $c_{μ V} = \frac{i}{2} R$ , то по уравнению Роберта Майера $c_{μ p} = c_{μ V} + R$ :

$c_{μ p} = \frac{i + 2}{2} R (1.8); i_{H e} = 3, i_{O_{2}} = 5 .$

В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:

$c_{p H e} = \frac{\frac{5}{2} R}{μ_{H e}}, c_{p O_{2}} = \frac{\frac{7 R}{2}}{μ_{O_{2}}} (1.9)$ .

Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:

$c_{p} = \frac{\frac{\frac{7 R}{2}}{μ_{O_{2}}} m_{O_{2}} + \frac{\frac{5}{2} R}{μ_{H e}} m_{H e}}{m_{O_{2}} + m_{H e}} (1.10)$ .

Выполним подстановку:

$c_{p} = \frac{\frac{3, 5 \cdot 8, 31 \cdot 16}{32} + \frac{2, 5 \cdot 8, 31 \cdot 10}{4}}{26} = \frac{14, 5 + 51, 94}{26} = 2, 56 (\frac{Д ж}{г К})$ .

Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется $2, 56 \frac{Д ж}{г К}$ .

Пример 2

При проведении опытов Джоулем было получено, что $с_{μ p} - c_{μ V} = 1, 986 \frac{к а л}{К \cdot м о л ь}$ . Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах $R = 8, 314 \cdot 10^{7} \frac{э р г}{К \cdot м о л ь}$ . Определите, как соотносятся $1 к а л, э р г, Д ж$ .

Решение

Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:

$с_{μ p} = c_{μ V} + R \to c_{μ p} - c_{μ V} = R (2.1)$ .

Отсюда получим, что:

$c_{μ p} - c_{μ V} = 1, 986 \frac{к а л}{К \cdot м о л ь} = 8, 314 \cdot 10^{7} \frac{э р г}{К \cdot м о л ь} \to 1 к а л = 4, 18 \cdot 10^{7} э р г = 4, 18 Д ж$ .

Ответ: $1 к а л = 4, 18 \cdot 10^{7} э р г = 4, 18 Д ж$ .

Автор: Роман Адамчук

Преподаватель физики