Дифракционная картина в дальней зоне как Фурье-образ дифракционного объекта

При совершении дифракции Фраунгофера на круглом отверстии волной, форма сигнала будет в виде круга. Допустим, его радиус равняется $R$. Запись Фурье – образ сигнала запишется:

$F (u, v)=\frac{J_1\left(R\rho \right)}{\rho }{e}^{iu∆x+iu∆y}$,

где выражение $\rho =\sqrt{u^2+v^2} J_1\left(R\rho \right)$ является функцией Бесселя первого рода и первого порядка, так как она действительная и четная, $∆x, ∆y$ – смещением сигнала по соответствующим осям.

Образ Фурье – считается четным и действительным при условии смещения $∆x=∆y=0$. Смещением называют фазовую добавку. При ее наличии модуль Фурье – образа не изменен, отсюда и получаем изображение дифракции, который пропорционален квадрату, сохраняется.

Особым практическим интересом обладает задача о дифракции на круглом отверстии, так как оправы и диафрагмы множества приборов в оптике обладают круглой формой. Для решения такого рода задач применяют цилиндрическую систему координат. Для этого следует использовать двойное интегрирование по радиальной и азимутным переменным.

Результат дифракции – акисально-симметричная картина, обладающая ярким световым пятном в центре, называемым диском Эйри. Он включает в себя около $84\%$ световой энергии.

Была совершена фраунговерова дифракция на квадратном отверстии со стороной
$2a$ при помощи плоской волны. Форма сигнала – квадрат. Фурье – образ такого сигнала записывается как:

$F\left(u, v\right)=\frac{\sin \left(au\right)}{u}\frac{\sin \left(av\right)}{v}{e}^{i\left(u∆x+v∆y\right)}$.

Значение $∆x, ∆y$ относят к смещению сигнала по соответствующим осям. Функция $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ является действительной и четной, как и Фурье – образ при $∆x=∆y=0$. Если смещение не равняется нулю, то это влечет за собой появление дополнительных осцилляций без изменения модуля Фурье – образа. Картина дифракции сохраняется и остается прежней.

Дифракция опыта Юнга является дифракцией Фраунгофера плоской волны на двух круглых отверстиях. Тогда запись Фурье – образа такого сигнала примет вид:

$F\left(u, v\right)=\frac{J_1\left(R\rho \right)}{\rho }\left\{exp\left(iu∆x_1+iv∆y_1\right)+exp\left(iu∆x_2+iv∆y_2\right)\right\}$.

Значение $\rho =\sqrt{u^2+v^2}, J_1 \left(R\rho \right)$ считается за функцию Бесселя $1$ рода и $1$ порядка, $x_1, y_1; x_2, y_2$ - за координаты центров кругов. Вид квадрата Фурье – образа – это кольца, соответствующие кругу радиуса $R$. Они модулируются при помощи полос, находящихся на одинаковом расстоянии. Полосы располагаются перпендикулярно линии, соединяющей центры кругов. Расстояние между полосами обратно пропорционально расстоянию между кругами.