Развёрнутый угол и его признаки

Развёрнутый угол: граница между «повернулся» и «пошёл обратно»

Представьте стрелку часов, которая стоит на цифре 12. Теперь мысленно поверните её так, чтобы она указала точно на 6. Стрелка прошла ровно полкруга и легла на одну прямую с началом пути. Вот вы и построили развёрнутый угол — тот самый поворот на «полдороги», после которого движение как будто хочет пойти в обратную сторону.

Развёрнутый угол — фигура особенная. Он стоит ровно посередине между «ещё поворачиваюсь» и «уже возвращаюсь назад». Это половина полного оборота, рубеж, дальше которого вращение начинает как бы отматываться обратно к старту. Разберёмся, почему у этого угла всегда одно и то же значение, как он связан со смежными углами и почему ему нет места внутри треугольника.

Половина оборота и почему тут только одно число

Полный оборот — это 360°: стрелка вернулась туда, откуда стартовала. Развёрнутый угол — ровно его половина, то есть 180°. И вот что любопытно: почти у всех углов значение «плавает». Острый угол может быть и 10°, и 40°, и 80°. Тупой — где-то между 90° и 180°. А развёрнутый угол упрямо держится единственной величины. Он либо есть — и тогда это ровно 180°, — либо это уже не развёрнутый угол.

А прямая линия «прямая» ровно одним способом: нельзя быть прямой чуть-чуть или почти. Стоит лучам хоть на градус сойти с одной линии — угол перестаёт быть развёрнутым. Оттого и значение у него жёстко зафиксировано.

Хорошая житейская картинка — дверь. Пока она приоткрыта, между ней и стеной какой угодно угол. Но если распахнуть её до упора и прижать к стене, дверь и стена окажутся на одной линии — вот вам развёрнутый угол ровно в 180°. Или разворот машины на дороге: въехали в одну сторону, выехали в противоположную — направление сменилось на 180°.

Луч из точки: как развёрнутый угол делится пополам и не только

Теперь самое полезное. Проведём прямую и поставим на ней точку. Слева и справа от точки — два противоположных луча, то есть развёрнутый угол в 180°. А теперь пустим из этой же точки третий луч куда-нибудь вверх.

Что произошло? Развёрнутый угол разбился на два куска. И как бы круто или полого ни уходил наш луч, эти два куска всегда дают в сумме 180°. Иначе и быть не может: вместе они по-прежнему покрывают всю прямую, ни больше ни меньше. Такие два угла, что лежат по одну прямую и делят её между собой, называют смежными.

Отсюда рождается очень удобный приём. Если один из смежных углов известен, второй ищется вычитанием:

второй угол = 180° − первый угол.

Это работает как весы: сколько «ушло» одному углу, ровно столько «недостаёт» другому, и вместе они всегда набирают 180°.

Задача 1. Из точки на прямой выпустили луч. Один из двух получившихся смежных углов равен 65°. Чему равен второй?

Решаем в одно действие:

180° − 65° = 115°.

Проверка проста: 65° + 115° = 180° — вся прямая на месте.

Задача 2. Луч поделил развёрнутый угол так, что один кусок оказался вдвое больше другого. Найдём оба угла.

Обозначим меньший угол за x, тогда больший — 2x. Вместе они дают развёрнутый угол:

x + 2x = 180°,
3x = 180°,
x = 60°.

Значит, меньший угол равен 60°, а больший — 2 · 60° = 120°. Снова сверимся: 60° + 120° = 180°.

Биссектриса: ровно посередине

Особый случай — когда луч делит развёрнутый угол точно пополам. Такой луч называют биссектрисой. Раз целое равно 180°, то каждая половинка получает по:

180° ÷ 2 = 90°.

Получаются два прямых угла. Это красиво объясняет, почему перпендикуляр к прямой всегда даёт именно 90°: он и есть биссектриса развёрнутого угла, честно разрезающая половину оборота на две равные четвертинки.

Задача 3. Из точки на прямой провели луч под углом 40° к прямой, а затем биссектрису развёрнутого угла (перпендикуляр). Какой угол окажется между этим лучом и биссектрисой?

Биссектриса стоит на 90° от прямой, а наш луч — на 40°. Разница между ними:

90° − 40° = 50°.

Почему треугольнику развёрнутый угол не по зубам

А теперь любопытный запрет. У любого треугольника сумма всех трёх внутренних углов равна 180° — это железное правило. Заметьте: те же самые 180°, что и у развёрнутого угла. И тут возникает забавное противоречие.

Допустим, один угол треугольника вдруг стал развёрнутым, то есть 180°. Но тогда на два оставшихся угла не остаётся ровным счётом ничего — весь «запас» уже израсходован одним углом. А угол в 0° — это не угол вовсе. Значит, такой треугольник построить нельзя.

Вот почему развёрнутый угол — вечный чужак для треугольника: стоит ему появиться, как треугольник тут же «схлопывается» в прямую линию.

Развёрнутый угол — это половина полного оборота, поворот ровно на 180°, после которого направление меняется на противоположное. Его лучи всегда вытягиваются в прямую линию, и именно поэтому у него единственное возможное значение — в отличие от острых и тупых углов, которые могут быть разными. Соберём выводы в таблицу.

Стоит увидеть в развёрнутом угле не сухие «180°», а границу между поворотом вперёд и разворотом назад — и все его свойства становятся очевидными. Смежные углы всегда дополняют друг друга до этой границы, биссектриса делит её на два прямых угла, а треугольник обходит её стороной, потому что она превращает фигуру в простую прямую.