Основные свойства действий с рациональными числами

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем - те свойства, которые базируются на основных свойствах.

Действия с рациональными числами. Основные свойства

Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть $a, b, c, d$ - некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.

Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. $a + b = b + a$ .
Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. $a + (b + c) = (a + b) + c$ .
Ноль - нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. $a + 0 = a$ .
Для любого рационального числа $a$ существует такое противоположное число $- a$ , что $a + (- a) = 0$ .
Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. $a \cdot b = b \cdot a$ .
Сочетательный закон умножения. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ .
Единица - нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. $a \cdot 1 = a$ .
Для любого рационального числа $a$ , отличного от ноля, существует такое обратное число $a^{- 1}$ , что $a \cdot a^{- 1} = 1$ .
Распределительное свойство умножения относительно сложения. $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Перечисленные выше свойства - основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.

Другие свойства рациональных чисел

Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. $a \cdot (- b) = - (a \cdot b)$ или $(- a) \cdot b = - (a \cdot b)$ .

Умножение отрицательных рациональных чисел. $(- a) \cdot (- b) = a \cdot b$ .

Умножение произвольного числа на ноль. $a \cdot 0 = 0$ . Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть $d$ - любое рациональное число. Справедливым будет равенство $0 = d + (- d)$ , которое можно переписать так: $a \cdot 0 = a \cdot (d + (- d))$ . Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:

$a \cdot 0 = a \cdot d + a \cdot (- d) a \cdot d + a \cdot (- d) = a \cdot d + (- a \cdot d)$

Сумма двух противоположных чисел $a \cdot d$ и $(- a \cdot d)$ дает ноль. Что и требовалось доказать.

Рассмотренные выше свойства - свойства умножения и сложения. Свойства вычитания и деления задаются как обратные свойства соответственно к сложению и умножению. Так, разность двух чисел $a - b$ можно записать в виде суммы $a + (- b)$ , а частное $\frac{a}{b}$ есть не что иное, как произведение $a \cdot b^{- 1}$ .

С учетом свойств умножения и сложения можно доказать любые свойства действий с рациональными числами. Для примера, возьмем распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c a \cdot (b - c) = a \cdot (b + (- c)) = a \cdot b + a \cdot (- c) = a \cdot b + (- a \cdot c) = a \cdot b - a \cdot c$

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.