Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем - те свойства, которые базируются на основных свойствах.
Действия с рациональными числами. Основные свойства
Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть - некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.
- Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. .
- Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. .
- Ноль - нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. .
- Для любого рационального числа существует такое противоположное число , что .
- Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. .
- Сочетательный закон умножения..
- Единица - нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. .
- Для любого рационального числа , отличного от ноля, существует такое обратное число , что .
- Распределительное свойство умножения относительно сложения. .
Перечисленные выше свойства - основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.
Другие свойства рациональных чисел
Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.
Умножение рациональных чисел с разными знаками. или .
Умножение отрицательных рациональных чисел. .
Умножение произвольного числа на ноль. . Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть - любое рациональное число. Справедливым будет равенство , которое можно переписать так: . Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:
Сумма двух противоположных чисел и дает ноль. Что и требовалось доказать.
Рассмотренные выше свойства - свойства умножения и сложения. Свойства вычитания и деления задаются как обратные свойства соответственно к сложению и умножению. Так, разность двух чисел можно записать в виде суммы , а частное есть не что иное, как произведение .
С учетом свойств умножения и сложения можно доказать любые свойства действий с рациональными числами. Для примера, возьмем распределительное свойство умножения относительно вычитания:
