Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит $1$ кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными $\frac{1}{4}$ и$\frac{ 1}{8}$ числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из $32$ прямоугольников (потому что $8·4=32$). Соответственно, площадь каждого из них будет равна $\frac{1}{32}$ от площади всей фигуры, т.е. $\frac{1}{32}$ кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными $\frac{5}{8}$ числовой единицы и $\frac{3}{4}$ числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна $\frac{5}{8}·\frac{3}{4}$ кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их $15$, значит, общая площадь составляет $\frac{15}{32}$ квадратных единиц.

Поскольку $5·3=15$ и $8·4=32$, мы можем записать следующее равенство:

$\frac{5}{8}·\frac{3}{4}=\frac{5·3}{8·4}=\frac{15}{32}$

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как $\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду $\frac{a·c}{b·d}$. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{c}{d}·\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·d}$

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

$\frac{a}{b}·n=\frac{a}{b}·\frac{n}{1}=\frac{a·n}{b·1}=\frac{a·n}{b}$

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

$\frac{a}{b}·n=n·\frac{a}{b}=\frac{a·n}{b}$

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.