Системы дифференциальных уравнений

Содержание:

Этот раздел мы решили посвятить тому, как решать систему дифференциальных уравнений (ду) простейшего вида $\{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = a_{1} x + b_{1} y + c_{1} \\ \frac{d y}{d t} = a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ , в которых $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным в решении систем ду и основным является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме - научимся дифференцировать.

Как решить систему дифференциальных уравнений? Решением системы ДУ будет являться пара функций $x (t)$ и $y (t)$ , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим правило или метод интегрирования системы ДУ $\{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = a_{1} x + b_{1} y + c_{1} \\ \frac{d y}{d t} = a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \end{cases}$ . Выразим $х$ из $2$ -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию $x (t)$ из $1$ -го уравнения:

$\frac{d y}{d t} = a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \Rightarrow x = \frac{1}{a_{2}} (\frac{d y}{d t} - b_{2} y - c_{2})$

Выполним дифференцирование $2$ -го уравнения по $t$ и разрешим его уравнение относительно $\frac{d x}{d t}$ :

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = a_{2} \frac{d x}{d t} + b_{2} \frac{d y}{d t} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{1}{a_{2}} (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - b_{2} \frac{d y}{d t})$

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в $1$ -е уравнение системы:

$\frac{d x}{d t} = a_{1} x + b_{1} y + c_{1} \Rightarrow \frac{1}{a_{2}} (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - b_{2} \frac{d y}{d t}) = \frac{a_{1}}{a_{2}} (\frac{d y}{d t} - b_{2} y - c_{2}) + b_{1} y + c_{1} \Leftrightarrow \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - (a_{1} + b_{2}) \cdot \frac{d y}{d t} + (a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}) \cdot y = a_{2} \cdot c_{1} - a_{1} \cdot c_{2}$

Так мы исключили неизвестную функцию $x (t)$ и получили линейное неоднородное ДУ $2$ -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения $y (t)$ и подставим его во $2$ -е уравнение системы. Найдем $x (t)$ . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Также выделяют жесткую систему ду в классификации уравнений: ее решение явными методами или способами будет неудовлетворительным ввиду резкого увеличения количества вычислений (в случае малого шага интегрирования) и погрешности (в случае недостаточно малого шага).

Пример 1

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений $\{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = x - 1 \\ \frac{d y}{d t} = x + 2 y - 3 \end{cases}$

Решение

Поиск начнем с первого уравнения системы линейных дифференциальных уравнений. Разрешим его относительно $x$ :

$x = \frac{d y}{d t} - 2 y + 3$

Теперь выполним дифференцирование $2$ -го уравнения системы оду, после чего разрешим его относительно $\frac{d x}{d t}$ : $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = \frac{d x}{d t} + 2 \frac{d y}{d t} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 2 \frac{d y}{d t}$

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в $1$ -е уравнение дифсистемы:

$\frac{d x}{d t} = x - 1 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 2 \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d t} - 2 y + 3 - 1 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} + 2 y = 2$

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное диф-е уравнение $2$ -го порядка с постоянными коэффициентами $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} + 2 y = 2$ (линеаризация дифференциальных уравнений, линеаризованное уравнение). Если мы найдем его общее решение, то получим функцию $y (t)$ .

Общее решение соответствующего ЛОДУ $y_{0}$ мы можем найти общее решение системы дифференциальных уравнений путем вычислений корней характеристического уравнения $k^{2} - 3 k + 2 = 0$ :

$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 = 1 k_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 k_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид $y_{0} = C_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot e^{2 t}$ .

Теперь нам нужно находить частное решение линейного неоднородного ДУ $\tilde{y}$ :

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} + 2 y = 2$

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде $\tilde{y} = A$ , где $А$ – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства $\frac{d^{2} \tilde{y}}{d t^{2}} - 3 \frac{d \tilde{y}}{d t} + 2 \tilde{y} = 2$ :
$\frac{d^{2} (A)}{d t^{2}} - 3 \frac{d (A)}{d t} + 2 A = 2 \Rightarrow 2 A = 2 \Rightarrow A = 1$

Таким образом, $\tilde{y} = 1$ и $y (t) = y_{0} + \tilde{y} = C_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot e^{2 t} + 1$ . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во $2$ -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно $x (t)$ :
$\frac{d (C_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot e^{2 t} + 1)}{d t} = x + 2 \cdot (C_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot e^{2 t} + 1) - 3 C_{1} \cdot e^{t} + 2 C_{2} \cdot e^{2 t} = x + 2 C_{1} \cdot e^{t} + 2 C_{2} \cdot e^{2 t} - 1 x = - C_{1} \cdot e^{t} + 1$

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию $x (t) = - C_{1} \cdot e^{t} + 1$ .

Ответ: $\{\begin{cases} x (t) = - C_{1} \cdot e^{t} + 1 \\ y (t) = C_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot e^{2 t} + 1 \end{cases}$

Теперь вы знаете, как решать системы дифференциальных уравнений на этом примере.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта