Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры
Содержание:
- 11 сентября 2023
- 5 минут
- 978
Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств. Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.
Понятие площади, свойства площади
Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:
Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону .
Если рассмотреть фигуру с ограничениями и за обозначение площади принять , то при построении прямых, изобразить параллельными осям и , причем на расстоянии, равном rобозначению . Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает на квадраты. Буквой обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются внутри , причем не касаются границ, а – фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей хотя бы одну общую точку, а фигуру, которая объединяет и (на рисунке изображается синей и красной областями).
Площади фигур возьмем за обозначение и , значит и будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.
Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей и . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Множество имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде , тогда внутреннюю площадь обозначим как . Множество имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как , внешнюю площадь обозначим как .
Фигура с внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число является площадью этой фигуры. значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.
Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.
Для примера подходит круг с вписанным и описанным треугольниками, где n является натуральным числом.
Квадрируемые фигуры
Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.
Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:
- Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков и . Первый рисунок, приведенный ниже, ограничивается сверху параболой , а снизу кривой вида , справа и слева прямыми, имеющими значения . Второй рисунок имеет границы в виде линий . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
- Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида , где функции и являются непрерывными на интервале , не имеют пересечений и соответствуют условию при любом значении . Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида , где .
- Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Итоги
Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.
Навигация по статьям