Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры

Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств.  Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

Понятие площади, свойства площади

Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону $r$.

Если рассмотреть фигуру $G$ с ограничениями и за обозначение площади принять $S\left(G\right)$, то при построении прямых, изобразить параллельными осям $Ох$ и $Оу$, причем на расстоянии, равном rобозначению $r$. Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает $хОу$ на квадраты.  Буквой $М$ обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются  внутри $G$, причем не касаются границ, а $М\text{'}$ – фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей $G$ хотя бы одну общую точку, а $ММ\text{'}$ фигуру, которая объединяет $М$ и $М\text{'}$ (на рисунке изображается синей и красной областями).

Площади фигур возьмем за обозначение $М$ и $ММ\text{'}$, значит $S\left(M\right)$ и $S(MM\text{'})$ будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей $\left\{S\left(M\right)\right\}$ и $\left\{S\left(MM\right)\text{'}\right\}$. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Множество $\left\{S\left(M\right)\right\}$ имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде $a=sup\left\{S\left(M\right)\right\}$, тогда внутреннюю площадь обозначим как $G$. Множество $\left\{S\left(MM\text{'}\right)\right\}$ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как $A=inf\left\{S\left(MM\text{'}\right)\right\}$, внешнюю площадь обозначим как  $G$.

Фигура $G$с внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число  $S\left(G\right)=a=A$ является площадью этой фигуры. $S\left(G\right)=a=A$ значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

Для примера подходит круг с вписанным и описанным $2^{n+1}$ треугольниками, где $n$n является натуральным числом.

Квадрируемые фигуры

Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

• Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков $y = f\left(x\right)$ и $x = g\left(y\right)$. Первый рисунок, приведенный ниже,  ограничивается сверху параболой $y=-\frac{1}{8}(x-4{)}^2+9$,  а снизу кривой вида $y=\frac{1}{3}x·\sin x+2$, справа и слева прямыми, имеющими значения $х=1, х=9$. Второй рисунок имеет границы  в виде линий $y=\frac{1}{3}(x-6{)}^2+1, y=\ln (x-1)+7, y=-e^{x-8}+8, y=-\frac{1}{3}x+5$. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

• Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi \left(t\right)\\ y=\psi \left(t\right)\end{array}\right.$, где функции $\varphi \left(t\right)$ и $\psi \left(t\right)$ являются непрерывными на интервале $\left[t_1; t_2\right]$, не имеют пересечений и соответствуют условию $\left\{\begin{array}{l}\varphi \text{'}\left(t_0\right)\ne 0\\ \psi \text{'}\left(t_0\right)\ne 0\end{array}\right.$ при любом значении $t_0\in \left[t_1; t_2\right]$. Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида $\left\{\begin{array}{l}x=3{\cos }^{3}t\\ y=3{\sin }^{3}t\end{array}\right.$ , где $t\in \left[0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

• Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение $r=5\sqrt{\cos \left(5\phi \right)}$. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Итоги

Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.