Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств $\sqrt{}$ , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства $\sqrt{} n$ -ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах $\sqrt{}$ .

Свойство $\sqrt{}$ умноженных чисел $a$ и $b$ , которое представляется как равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ как $\sqrt{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot \dots \cdot \sqrt{a_{k}}$ ;
$\sqrt{}$ из частного $\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}, a \geq 0, b > 0$ , он также может записываться в таком виде $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ;
Свойство $\sqrt{}$ из степени числа $a$ с четным показателем $\sqrt{a^{2 \cdot m}} = |a^{m}|$ при любом числе $a$ , например, свойство $\sqrt{}$ из квадрата числа $\sqrt{a^{2}} = |a|$ .

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ трансформируется как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ . Свойства $\sqrt{}$ для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Согласно определению $\sqrt{}$ , необходимо рассмотреть, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ - число, положительное или равное нулю, которое будет равно $a \cdot b$ при возведении в квадрат. Значение выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} \cdot {(\sqrt{b})}^{2}$ . По определению квадратного корня ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ и ${(\sqrt{b})}^{2} = b$ , то ${(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} \cdot {(\sqrt{b})}^{2} = a \cdot b$ .

Аналогичным способом можно доказать, что $\sqrt{}$ из произведения $k$ множителей $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, ${(\sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot \dots \cdot \sqrt{a_{k}})}^{2} = {(\sqrt{a_{1}})}^{2} \cdot {(\sqrt{a_{2}})}^{2} \cdot \dots \cdot {(\sqrt{a_{k}})}^{2} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}$ .

Из этого равенства следует, что $\sqrt{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot \dots \cdot \sqrt{a_{k}}$ .

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

$\sqrt{3 \cdot 5 \frac{2}{5}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \frac{2}{5}}, \sqrt{4, 2} \cdot \sqrt{13 \frac{1}{2}} = \sqrt{4, 2 \cdot 13 \frac{1}{2}}$ и $\sqrt{2, 7 \cdot 4 \cdot \frac{12}{17} \cdot 0, 2 (1)} = \sqrt{2, 7} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{12}{17}} \cdot \sqrt{0, 2 (1)}$ .

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: $\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}, a \geq 0, b > 0$ . Свойство позволяет записать равенство ${(\sqrt{a} : \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} : {(\sqrt{b})}^{2}$ , а ${(\sqrt{a})}^{2} : {(\sqrt{b})}^{2} = a : b$ , при этом $\sqrt{a} : \sqrt{b}$ является положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, $\sqrt{0 : 16} = \sqrt{0} : \sqrt{16}, \sqrt{80} : \sqrt{5} = \sqrt{80 : 5}$ и $\sqrt{\frac{3}{0, 121}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{0, 121}}$ .

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как $\sqrt{a^{2}} = |a|$ Чтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при $a \geq 0$ и при $a < 0$ .

Очевидно, что при $a \geq 0$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2}} = a$ . При $a < 0$ будет верно равенство $\sqrt{a^{2}} = - a$ . На самом деле, в этом случае $- a > 0$ и $(- a)^{2} = a^{2}$ . Можно сделать вывод, $\sqrt{a^{2}} = \{\begin{cases} a, a \geq 0 \\ - a, a < 0 \end{cases} = |a|$ . Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

$\sqrt{5^{2}} = |5| = 5$ и $\sqrt{- 0, 36^{2}} = |- 0, 36| = 0, 36$ .

Доказанное свойство $\sqrt{}$ поможет дать обоснование $\sqrt{a^{2 \cdot m}} = |a^{m}|$ , где $a$ – действительное, а $m$ –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень $a^{2 \cdot m}$ выражением $(a^{m})^{2}$ , тогда $\sqrt{a^{2 \cdot m}} = \sqrt{(a^{m})^{2}} = |a^{m}|$ .

Пример 3

$\sqrt{3^{8}} = |3^{4}| = 3^{4}$ и $\sqrt{(- 8, 3)^{14}} = |{(- 8, 3)}^{7}| = (8, 3)^{7}$ .

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней $n$ -ой степени:

Свойство $\sqrt{}$ из произведения чисел $a$ и $b$ , которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , данное свойство справедливо для произведения $k$ чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ как $\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt[n]{a_{1}} \cdot \sqrt[n]{a_{2}} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_{k}}$ ;
$\sqrt{}$ из дробного числа обладает свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , где $a$ – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а $b$ – положительное действительное число;
При любом $a$ и четных показателях $n = 2 \cdot m$ справедливо $\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}} = |a|$ , а при нечетных $n = 2 \cdot m - 1$ выполняется равенство $\sqrt[2 \cdot m - 1]{a^{2 \cdot m - 1}} = a$ .
Свойство извлечения $\sqrt{}$ из $\sqrt{}$ $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ , где $a$ – любое число, положительное или равное нулю, $n$ и $m$ – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде $\sqrt[n_{1}]{\sqrt[n_{2}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2} . . . \cdot n_{k}]{a}$ ;
Для любого неотрицательного $a$ и произвольных $n$ и $m$ , которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ ;
Свойство $\sqrt{}$ степени $n$ из степени числа $a$ , которое положительно или равно нулю, в натуральной степени $m$ , определяемое равенством $\sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ ;
Свойство сравнения $\sqrt{}$ , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел $a$ и $b$ таких, что $a < b$ , выполняется неравенство $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ ;
Свойство сравнения $\sqrt{}$ , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если $m$ и $n$ – натуральные числа, что $m > n$ , тогда при $0 < a < 1$ справедливо неравенство $\sqrt[m]{a} > \sqrt[n]{a}$ , а при $a > 1$ выполняется $\sqrt[m]{a} < \sqrt[n]{a}$ .

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

Первым делом докажем свойства корня $n$ -ой степени из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ . Для $a$ и $b$ , которые являются положительными или равными нулю, значение $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство ${(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})}^{n} = {(\sqrt[n]{a})}^{n} \cdot {(\sqrt[n]{b})}^{n}$ . По определению корня $n$ -ой степени ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ и ${(\sqrt[n]{b})}^{n} = b$ , следовательно, ${(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})}^{n} = a \cdot b$ . Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения $k$ множителей: для неотрицательных чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ выполняется $\sqrt[n]{a_{1}} \cdot \sqrt[n]{a_{2}} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_{k}} \geq 0$ .

Приведем примеры использования свойства корня $n$ -ой степени из произведения: $\sqrt[7]{5 \cdot 2 \frac{1}{2}} = \sqrt[7]{5} \cdot \sqrt[7]{2 \frac{1}{2}}$ и $\sqrt[4]{8, 3} \cdot \sqrt[4]{17, (21)} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{7}} = \sqrt[4]{8, 3 \cdot 17, (21) \cdot 3 \cdot \frac{5}{7}}$ .

Докажем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ . При $a \geq 0$ и $b > 0$ выполняется условие $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \geq 0$ , а ${(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n} = \frac{{(\sqrt[n]{a})}^{n}}{{(\sqrt[n]{b})}^{n}} = \frac{a}{b}$ .

Покажем примеры:

Пример 4

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$ и $\sqrt[10]{2, 3} : \sqrt[10]{\frac{2}{3}} = \sqrt[10]{2, 3 : \frac{2}{3}}$ .

Для следующего шага необходимо доказать свойства $\sqrt{}$ $n$ -ой степени из числа в степени $n$ . Представим это в виде равенства $\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}} = |a|$ и $\sqrt[2 \cdot m - 1]{a^{2 \cdot m - 1}} = a$ для любого действительного $a$ и натурального $m$ . При $a \geq 0$ получаем $|a| = a$ и ${|a|}^{2 \cdot m} = a^{2 \cdot m}$ , что доказывает равенство $\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}} = |a|$ , а равенство $\sqrt[2 \cdot m - 1]{a^{2 \cdot m - 1}} = a$ очевидно. При $a < 0$ получаем соответственно $|a| = - a$ и ${|a|}^{2 \cdot m} = (- a)^{2 \cdot m} = a^{2 \cdot m}$ . Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство $\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}} = |a|$ , а $\sqrt[2 \cdot m - 1]{a^{2 \cdot m - 1}} = a$ будет справедливо, так как за $\sqrt{}$ нечетной степени рассматривается $\sqrt[2 \cdot m - 1]{- c} = - \sqrt[2 \cdot m - 1]{c}$ для любого числа $c$ , положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5

$\sqrt[4]{7^{4}} = |7| = 7, \sqrt[12]{(- 5)^{12}} = |- 5| = 5, \sqrt[8]{0^{8}} = |0| = 0, \sqrt[3]{6^{3}} = 6$ и $\sqrt[5]{(- 3, 39)^{5}} = - 3, 39$ .

Докажем следующее равенство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ . Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами $\sqrt[n \cdot m]{a} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ . Это будет означать верная запись . Для $a$ , которое является положительным или равно нулю, $\sqrt{}$ из $\sqrt{}$ вида $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению $\sqrt{}$ . С их помощью можно преобразовать равенства в виде ${(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}})}^{n \cdot m} = {({(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}})}^{n})}^{m} = {(\sqrt[m]{a})}^{m} = a$ . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, ${(\sqrt[n_{1}]{\sqrt[n_{2}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}})}^{n_{1} \cdot n_{2} \cdot . . . \cdot n_{k}} = {(\sqrt[n_{2}]{\sqrt[n_{3}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}})}^{n_{2} \cdot n_{3} \cdot . . . \cdot n_{k}} = {(\sqrt[n_{3}]{\sqrt[n_{4}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}})}^{n_{3} \cdot n_{4} \cdot . . . \cdot n_{k}} = . . . = {(\sqrt[n_{k}]{a})}^{n_{k}} = a$ .

Например, $\sqrt[5]{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[5 \cdot 3]{7}$ и $\sqrt{\sqrt{\sqrt[6]{0, 0009}}} = \sqrt[2 \cdot 2 \cdot 6]{0, 0009} = \sqrt[24]{0, 0009}$ .

Докажем следующее свойство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ . Для этого необходимо показать, что $\sqrt[n]{a}$ – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень $n \cdot m$ равно $a^{m}$ . Если число $a$ является положительным или равным нулю, то $\sqrt{}$ $n$ -ой степени из числа $a$ является числом положительным или равным нулю При этом $(\sqrt[n]{a^{n \cdot m}}) = {({(\sqrt[n]{a})}^{n})}^{m}$ , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

$\sqrt[12]{2^{3}} = \sqrt[4]{2}$ .

Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида $\sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ . Очевидно, что при $a \geq 0$ степень ${(\sqrt[n]{a})}^{m}$ является неотрицательным числом. Более того, ее $n$ -ая степень равна $a^{m}$ , действительно, ${({(\sqrt[n]{a})}^{m})}^{n} = {(\sqrt[n]{a})}^{m \cdot n} = {({(\sqrt[n]{a})}^{n})}^{m} = a^{m}$ . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, $\sqrt[3]{{(\frac{2}{3})}^{5}} = {(\sqrt[3]{\frac{2}{3}})}^{5}$ .

Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполнено условие $a < b$ . Рассмотрим неравенство $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ . Воспользуемся методом от противного $\sqrt[n]{a} \geq \sqrt[n]{b}$ . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным ${(\sqrt[n]{a})}^{n} \geq {(\sqrt[n]{b})}^{n}$ , то есть, $a \geq b$ . Но это не соответствует условию $a < b$ . Следовательно, $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ при $a < b$ .

Для примера приведем $\sqrt[4]{12} < \sqrt[4]{15 \frac{2}{3}}$ .

Рассмотрим свойство корня $n$ -ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При $m > n$ и $0 < a < 1$ справедливо $\sqrt[m]{a} > \sqrt[n]{a}$ . Предположим, что $\sqrt[m]{a} \leq \sqrt[n]{a}$ . Свойства позволят упростить выражение до $\sqrt[m \cdot n]{a^{n}} \leq \sqrt[m \cdot n]{a^{m}}$ . Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство ${(\sqrt[m \cdot n]{a^{n}})}^{m \cdot n} \leq {(\sqrt[m \cdot n]{a^{m}})}^{m \cdot n}$ , то есть, $a^{n} \leq a^{m}$ . Полученное значение при $m > n$ и $0 < a < 1$ не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при $m > n$ и $a > 1$ справедливо условие $\sqrt[m]{a} < \sqrt[n]{a}$ .

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

$\sqrt[3]{0, 7} > \sqrt[5]{0, 7}$ и $\sqrt{12} > \sqrt[7]{12}$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.