Равенство матриц: как доказать и проверить?

Для матриц 2-го порядка можно записать равенство в таком виде:

$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right) \\ A=B\Rightarrow a_{11}=b_{11, }{a}_{12}=b_{12}, a_{21}=b_{21, }{a}_{22}=b_{22} \end{gathered}$$

Определить, равны ли матрицы:

$$\begin{gathered} 1. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right) \\ 2. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right) \\ 3. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right) \end{gathered}$$

Решение:

$1. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$

У матриц А и В одинаковая размерность (одинаковый порядок), равный 2×2. Соответствующие элементы равны, следовательно равны и матрицы.

$2. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют разный порядок, равный 2×2 и 2×1.

$3. A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right)$

У матриц А и В одинаковый порядок, который равен 2×2. Однако не все соответствующие элементы равны между собой, поэтому матрицы не равны.