Равенство матриц: как доказать и проверить?

2 сентября 2023
2 минуты
2 720

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В теории матриц часто встречается понятие «равенство матриц». Что подразумевается под этим понятием?

Определение 1

Матрица $A = (a_{i j})_{m \times n}$ равна матрице $B = (b_{i j})_{k \times l}$ при условии, если у них одинаковые размерности и соответствующие элементы равны между собой.

Пример 1

Для матриц 2-го порядка можно записать равенство в таком виде:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}) A = B \Rightarrow a_{11} = b_{11,} a_{12} = b_{12}, a_{21} = b_{21,} a_{22} = b_{22}$

Пример 2

Определить, равны ли матрицы:

$1 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) 2 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix}) 3 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

Решение:

$1 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$

У матриц А и В одинаковая размерность (одинаковый порядок), равный 2×2. Соответствующие элементы равны, следовательно равны и матрицы.

$2 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix})$

Матрицы А и В имеют разный порядок, равный 2×2 и 2×1.

$3 . A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

У матриц А и В одинаковый порядок, который равен 2×2. Однако не все соответствующие элементы равны между собой, поэтому матрицы не равны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter