Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат $Oхуz$ трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными $х, у$ и $z$. Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Уравнение, имеющее вид $Ax+By+Cz+D=0$  носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам $А,В,С$ и $D$ конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение  $\lambda ·Ax+\lambda ·By+\lambda ·Cz+\lambda ·D=0$, будет точно так же определять плоскость. В уравнении $\lambda$ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства $Ax+By+Cz+D=0$ и $\lambda ·Ax+\lambda ·By+\lambda ·Cz+\lambda ·D=0$ равнозначны.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению $Ax+By+Cz+D=0$ соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида $Ax+By+Cz+D=0$ .

Уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ может быть полным и неполным. Все коэффициенты $А,B,С$ и $D$ в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты $А,В$ и $С$ в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида $Ax+By+Cz+D=0$, которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора $\overrightarrow{n}=(A, B, C)$ равна единице, т.е. $\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}=1$ , а $D\le 0$ .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид $\cos \alpha ·x+\cos \beta ·y+\cos \gamma ·z-p=0$ , где $p$ – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а $\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma$ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

$\overrightarrow{n}=(\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma ), \left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\cos }^2 \beta +{\cos }^2 \gamma }=1$

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат $Oхуz$ удалена от начала координат на расстояние $p$ в положительном направлении нормального вектора этой плоскости $\overrightarrow{n}=(\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )$ . Если $p$ равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях $Oх, Oу$ и $Oz$ отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами $a, b$ и $с$. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ . Знак чисел $а, b$ и $с$ показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.