Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.

Вычислить производную показательно степенной функции переменной $x$ в степени $x$.

Решение

Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем $\ln y=\ln x^x$. С учетом свойств логарифма это можно выразить как $\ln y=x·\ln x$. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:

$$\begin{gathered} \ln y=x·\ln x \\ \left(\ln y\right)\text{'}=\left(x·\ln x\right)\text{'} \\ \frac{1}{y}·y\text{'}=x\text{'}·\ln x+·\left(\ln x\right)\text{'}\Rightarrow \\ y\text{'}=y·\left(1·\ln x+x·\frac{1}{x}\right)=y·(\ln x+1)=x^x·(\ln x+1) \end{gathered}$$

Ответ: $\left(x^x\right)\text{'}=x^x·(\ln x+1)$

Вычислите производную функции $y=\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt{x^3·\sin x}}$.

Решение

Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную $y\text{'}=y·\left(\ln \left(f\right(x\left)\right)\right)\text{'}$. Поясним, почему такое вычисление удобнее.

Начнем с нахождения $\ln \left(f\right(x\left)\right)$. Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:

• логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
• логарифм произведения можно представить в виде суммы;
• если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.

Преобразуем выражение:

$$\begin{gathered} \ln \left(f\right(x\left)\right)=\ln \frac{(x^2+1{)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{{\left(x^3·\sin x\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\ln (x^2+1{)}^{\frac{1}{3}}-\ln (x^3·\sin x{)}^{\frac{1}{2}}= \\ =\frac{1}{3}\ln (x^2+1)-\frac{3}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln \sin x \end{gathered}$$

В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:

$$\begin{gathered} \left(\ln \right(f\left(x\right)\left)\right)\text{'}={\left(\frac{1}{3}\ln (x^2+1)-\frac{3}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln \sin x\right)}^{\text{'}}= \\ ={\left(\frac{1}{3}\ln (x^2+1)\right)}^{\text{'}}-{\left(\frac{3}{2}\ln x\right)}^{\text{'}}-{\left(\frac{1}{2}\ln \sin x\right)}^{\text{'}}= \\ =\frac{1}{3}\left(\ln \right(x^2+1\left)\right)\text{'}-\frac{3}{2}(\ln x)\text{'}-\frac{1}{2}(\ln \sin x)\text{'}= \\ =\frac{1}{3}·\frac{1}{x^2+1}·\left(x^2+1\right)\text{'}-\frac{3}{2}·\frac{1}{x}-\frac{1}{2}·\frac{1}{\sin x}·(\sin x)\text{'}= \\ =\frac{1}{3}·\frac{2x}{x^2+1}-\frac{3}{2x}-\frac{\cos x}{2 \sin x} \end{gathered}$$

Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.

Ответ: $y\text{'}=y·\left(\ln \left(f\right(x\left)\right)\right)\text{'}=\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt{x^3·\sin x}}·\left(\frac{1}{3}·\frac{2x}{x^2+1}-\frac{3}{2x}-\frac{\cos x}{2 \sin x}\right)$

Дана показательно степенная функция $y=(x^2+x+1{)}^{x^3}$. Вычислите ее производную.

Решение:

$$\begin{gathered} y\text{'}=y·\left(\ln \right(f\left(x\right)\left)\right)\text{'}=(x^2+x+1{)}^{x^3}·{\left(\ln (x^2+x+1{)}^{x^3}\right)}^{\text{'}}= \\ =(x^2+x+1{)}^{x^3}·{\left(x^3·(x^2+x+1)\right)}^{\text{'}}= \\ =(x^2+x+1{)}^{x^3}·\left({\left(x^3\right)}^{\text{'}}·\ln (x^2+x+1)+x^3{\left(\ln (x^2+x+1)\right)}^{\text{'}}\right)= \\ =(x^2+x+1{)}^{x^3}·\left(3x^2·\ln (x^2+x+1)+x^3·\frac{1}{x^2+x+1}·{\left(x^2+x+1\right)}^{\text{'}}\right)= \\ =(x^2+x+1{)}^{x^3}·\left(3x^2·\ln (x^2+x+1)+x^3\frac{2x+1}{x^2+x+1}\right)= \\ =(x^2+x+1{)}^{x^3}·\left(3x^2·\ln (x^2+x+1)+\frac{2x^4+x^3}{x^2+x+1}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $y\text{'}=y·\left(\ln \right(f\left(x\right)\left)\right)\text{'}=(x^2+x+1{)}^{x^3}·\left(3x^2·\ln (x^2+x+1)+\frac{2x^4+x^3}{x^2+x+1}\right)$

Вычислите производную выражения $y=\frac{\sqrt[3]{x^2+1}·\sqrt{x+1}·\sqrt[4]{x^3+1}}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.

Решение 

Применяем формулу логарифмической производной.

$$\begin{gathered} y\text{'}=y·{\left(\ln \frac{\sqrt[3]{x^2+1}·\sqrt{x+1}·\sqrt[4]{x^3+1}}{\sqrt{x^2+2x+2}}\right)}^{\text{'}}= \\ =y·{\left(\ln \sqrt[3]{x^2+1}+\ln \sqrt{x+1}+\ln \sqrt[4]{x^3+1}-\ln \sqrt{x^2+2x+2}\right)}^{\text{'}}= \\ =y·{\left(\frac{1}{3}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{4}\ln (x^3+1)-\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2)\right)}^{\text{'}}= \\ =y·\left(\frac{(x^2+1)\text{'}}{3(x^2+1)}+\frac{\left(x+1\right)\text{'}}{2(x+1)}+\frac{(x^3+1)\text{'}}{4\left(x^3+1\right)}-\frac{\left(x^2+2x+2\right)\text{'}}{2\left(x^2+2x+2\right)}\right)= \\ =\frac{\sqrt[3]{x^2+1}·\sqrt{x+1}·\sqrt[4]{x^3+1}}{\sqrt{x^2+2x+2}}·\left(\frac{2x}{3(x^2+1)}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{3x^2}{4(x^3+1)}-\frac{2x+2}{2(x^2+2x+2)}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 

$y\text{'}=\frac{\sqrt[3]{x^2+1}·\sqrt{x+1}·\sqrt[4]{x^3+1}}{\sqrt{x^2+2x+2}}·\left(\frac{2x}{3(x^2+1)}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{3x^2}{4(x^3+1)}-\frac{2x+2}{2(x^2+2x+2)}\right)$.