Равносильные неравенства, преобразование неравенств

Содержание:

В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

Равносильные неравенства: определение, примеры

Определение 1

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

Приведем пример:

Пример 1

Даны три равносильных неравенства: $x > 2, 2 \cdot x : 2 > 2$ и $x > 3 - 1$ . В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток $(2, + \infty)$ .

Неравенства $х^{6} \geq - 2$ и $| х + 7 | < 0$ являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.

Неравенства $х > 3$ и $х \geq 3$ – не равносильные: $х = 3$ служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

Равносильные преобразования неравенств

Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

Определение 2

Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.

Доказательство 1

Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной $A (x) < B (x)$ , где $A (x)$ и $B (x)$ - некие выражения с переменной $x$ . Допустим, выражение $C (x)$ является тождественно равным выражению $A (x)$ , а выражение $D (x)$ является тождественно равным $B (x)$ на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство $C (x) < D (x)$ служит равносильным неравенству $A (x) < B (x)$ . С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение $q$ заданного неравенства будет также решением неравенства $C (x) < D (x)$ , и наоборот: любое решение неравенства $C (x) < D (x)$ будет решением заданного неравенства $A (x) < B (x)$ .

Мы приняли, что $q$ – решение неравенства $A (x) < B (x)$ , тогда верным будет числовое неравенство $A (q) < B (q)$ . Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что $A (q) - B (q) < 0$ .

Выражение $A (q) - B (q)$ можно записать в виде $A (q) + (C (q) - C (q)) - B (q) + (D (q) - D (q))$ , что является тем же самым, $(A (q) - C (q)) + C (q) - (B (q) - D (q)) - D (q)$ . Выражения $A (x)$ и $C (x)$ , $B (x)$ и $D (x)$ по условию тождественно равны, тогда: $A (q) = C (q)$ и $B (q) = D (q)$ , откуда $A (q) - C (q) = 0$ и $B (q) - D (q) = 0$ . Таким образом, $(A (q) - C (q)) + C (q) - (B (q) - D (q)) - D (q) = 0 + C (q) - 0 - D (q) = C (q) - D (q)$ . Мы продемонстрировали, что значение выражения $A (q) - B (q)$ равно значению выражения $C (q) - D (q),$ а поскольку $A (q) - B (q) < 0$ , то и $C (q) - D (q) < 0$ . Отсюда делаем вывод, что $C (q) < D (q)$ . И крайнее неравенство означает, что $q$ – решение неравенства $C (x) < D (x)$ .

Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства $C (x) < D (x)$ будет решением и неравенства $A (x) < B (x)$ , тем самым будет доказано и исходное утверждение.

Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

Покажем пример использования.

Пример 2

Рассмотрим неравенство $x > 2 + 6$ . В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство $x > 8$ .

В неравенстве $3 \cdot (x + 1) - 2 \cdot x + 11 \leq 2 \cdot y + 3 \cdot (y + 1) + x$ , в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство $x + 14 \leq 5 \cdot y + 3 + x$ . Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением $x + 14$ , а правую часть – тождественно равным ей выражением $5 \cdot y + 3 + x$ на области допустимых значений переменных $x$ и $y$ заданного неравенства.

Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

Доказательство 2

Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство $A (x) < B (x)$ и некое число $c$ . Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство $A (x) + c < B (x) + c$ , которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число $c$ . Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства $A (x) + c < B (x) + c$ , и наоборот.

Мы приняли, что $q$ – решение неравенства $A (x) < B (x)$ , тогда верно следующее: $A (q) < B (q)$ . Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число $c$ к обеим частям крайнего неравенства, получим $A (q) + c < B (q) + c$ , и это означает, что $q$ служит решением неравенства $A (x) + c < B (x) + c$ .

Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства $A (x) + c < B (x) + c$ будет являться и решением неравенства $A (x) < B (x)$ . Мы приняли, что $q$ - решение неравенства $A (x) + c < B (x) + c$ , тогда $A (q) + c < B (q) + c$ , из обеих частей вычтем число $c$ , получим $A (q) < B (q)$ , где $q$ – решение неравенства $A (x) < B (x)$ .

Таким образом, неравенства $A (x) < B (x)$ и $A (x) + c < B (x) + c$ являются равносильными. Для наглядности укажем пример: $x > 2$ и $x - 5 > 2 - 5$ – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство $x - 5 > - 3$ .

Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.

Пример 3

Исходному неравенству $x < 7$ будет равносильно неравенство $x + (12 \cdot x - 1) < 7 + (12 \cdot x - 1)$ .

Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.

Пример 4

Исходному неравенству $3 \cdot x - 5 \cdot y > 12$ равносильно неравенство $3 \cdot x > 12 + 5 \cdot y$ .

Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный ( $<$ на $>$ , $>$ на $<$ , $\leq$ на $\geq$ , а $\geq$ на $\leq$ ), получим равносильное неравенство.

Доказательство 3

Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство $A (x) < B (x)$ и $c$ – некое положительное число. Приведем доказательство, что $A (x) < B (x)$ и $A (x) \cdot c < B (x) \cdot c$ - равносильные неравенства. Примем $q$ как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство $A (q) < B (q)$ . Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число $c$ , что дает нам $A (q) \cdot c < B (q) \cdot c$ . Это значит, что $q$ - решение неравенства $A (x) \cdot c < B (x) \cdot c$ .

Теперь в обратную сторону: примем $q$ как решение неравенства $A (x) \cdot c < B (x) \cdot c$ , в таком случае: $A (q) \cdot c < B (q) \cdot c$ . Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство $A (q) < B (q)$ . Отсюда можно сделать вывод, что $q$ - решение неравенства $A (x) < B (x)$ . Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства $A (x) < B (x)$ и $A (x) \cdot c < B (x) \cdot c$ являются равносильными.

Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

Пример 5

Задано неравенство $2 \cdot x \leq 5$ . Умножим его левую и правую части на положительное число $3$ , что даст нам равносильное неравенство $6 \cdot x \leq 15$ .

Пример 6

Задано неравенство $- \frac{2}{3} \cdot z < 1$ . Разделим левую и правую его части на отрицательное число $- \frac{2}{3}$ , сменив знак неравенства. Получим $z > - 1 \frac{1}{2}$ - неравенство, равносильное заданному.

Расширим и это свойство неравенств:

умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.

Пример 7

Задано неравенство $x > 1$ . Умножим его правую и левую части на выражение $x^{2} + 1$ , положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство $x \cdot (x^{2} + 1) > 1 \cdot (x^{2} + 1)$ .

В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

Результат неравносильных преобразований неравенств

Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

Разберем примеры для лучшего понимания теории.

Пример 8

Пусть заданы неравенства $x > - 2$ и $\frac{1}{x} - \frac{1}{x} + x > - 2$ . Решением первого будет числовой промежуток $(- 2, + \infty)$ , а второго – множество $(- 2, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Пусть необходимо решить второе неравенство.

Пример 9

Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству $x > - 2$ . Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной $х (х \neq 0)$ , тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство $x > - 2$ , а следовательно – неверный ответ $(- 2, + \infty)$ взамен нужного $(- 2, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Посмотрим с другой стороны:

Пример 10

Мы решим неравенство $x > - 2$ . При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством $\frac{1}{x} - \frac{1}{x} + x > - 2$ . Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда $х = 0$ , неравенство не равно $x$ (при $х = 0$ оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу $(- 2, 0) \cup (0, + \infty)$ взамен правильного $(- 2, + \infty)$ .

Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства $x > - 2$ к неравенству $\frac{1}{x} - \frac{1}{x} + x > - 2$ , произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.

Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта