Операции над векторами и их свойства: умножение, сложение векторов по правилу многоугольника

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Определение 5

Исходные данные: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор $\vec{A B}$ , равный вектору $\vec{а}$ ; из полученной точки undefined – вектор $\vec{В С}$ , равный вектору $\vec{b}$ . Соединив точки undefined и $C$ , получаем отрезок (вектор) $\vec{А С}$ , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

- для неколлинеарных векторов:

- для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , $\vec{d}$ . Из произвольной точки $А$ на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору $\vec{a}$ ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору $\vec{b}$ ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка $B$ , а полученный отрезок (вектор) $\vec{A B}$ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть сумма векторов $\vec{a}$ и - $\vec{b}$ .

Умножение вектора на число

Определение 8

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число $k$ , необходимо учитывать следующие правила:
- если $|k| > 1$ , то это число приведет к растяжению вектора в $k$ раз;
- если $0 < |k| < 1$ , то это число приведет к сжатию вектора в $\frac{1}{k}$ раз;
- если $k < 0$ , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- если $k = 1$ , то вектор остается прежним;
- если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор $\vec{a}$ и число $k = 2$ ;
2) вектор $\vec{b}$ и число $k = - \frac{1}{3}$ .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ и произвольные действительные числа $λ$ и $μ$ .

Свойство коммутативности: $\overset{⇀}{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ .
Свойство ассоциативности: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор $\vec{0}$ ⃗). Это очевидное свойство: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
Любой ненулевой вектор $\vec{a}$ имеет противоположный вектор $- \vec{a}$ и верным является равенство: $\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}$ . Указанное свойство - очевидное.
Сочетательное свойство операции умножения: $(λ \cdot µ) \cdot \vec{a} = λ \cdot (µ \cdot \vec{a})$ . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
Первое распределительное свойство (очевидно): $(λ + µ) \cdot \vec{a} = λ \cdot \vec{a} + µ \cdot \vec{a} .$
Второе распределительное свойство: $λ \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = λ \cdot \vec{a} + λ \cdot \vec{b}$ .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение $\vec{a} - 2 \cdot (\vec{b} + 3 \cdot \vec{a})$
Решение
- используя второе распределительное свойство, получим: $\vec{a} - 2 \cdot (\vec{b} + 3 \cdot \vec{a}) = \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot (3 \cdot \vec{a})$
- задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: $\vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot (3 \cdot \vec{a}) = \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - (2 \cdot 3) \cdot \vec{a} = \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 6 \cdot \vec{a}$
- используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: $\vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 6 \cdot \vec{a} = \vec{a} - 6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}$
- затем по первому распределительному свойству получаем: $\vec{a} - 6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} = (1 - 6) \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} = - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}$ Краткая запись решения будет выглядеть так: $\vec{a} - 2 \cdot (\vec{b} + 3 \cdot \vec{a}) = \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot 3 \cdot \vec{a} = 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}$
Ответ: $\vec{a} - 2 \cdot (\vec{b} + 3 \cdot \vec{a}) = - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}$