- 21 сентября 2026
- 7 минут
- 5
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Напряжённое и деформированное состояния в точке материала
Деформированное состояния в точке материала
Возьмите любую нагруженную деталь и мысленно ткните в неё пальцем. В этой самой точке материал что-то испытывает — его сжимают, растягивают, сдвигают. Чтобы описать всё это разом, инженеры пользуются двумя связанными понятиями: напряжённым и деформированным состоянием. Разберёмся, как их задают, как переходят к главным напряжениям и деформациям и какие бывают виды напряжённо-деформированного состояния.
Напряжённое состояние — это совокупность напряжений в точке на всех площадках, которые проведены через неё.
Точка материала — это малый объём материала вблизи геометрической точки, внутри которого напряжения меняются дифференциально мало.
Как задают напряжённое состояние
Чтобы описать напряжённое состояние, берут три вектора напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках. Сами площадки выбирают произвольно, а точку материала при этом принято изображать в виде параллелепипеда, построенного на этих трёх площадках.
Введём прямоугольную систему координат и три площадки, перпендикулярные её осям x, y и z. Векторы напряжений на них задаются проекциями на оси координат — их обозначают Pₓ, P_y и P_z.
Дальше проекции разделяют на два типа:
- нормальные напряжения — те, что перпендикулярны площадке. Их обозначают σx, σy, σz, а индекс указывает направление нормали к площадке;
- касательные напряжения — те, что лежат в плоскости площадки. Их обозначают τxy, τxz, τyx, τyz, τzx и τzy. Здесь первый индекс называет площадку, на которой действует напряжение, а второй — ось, вдоль которой оно направлено.
Закон парности касательных напряжений
Из условия равновесия элементарного объёма тела следует важное свойство — закон парности касательных напряжений. Он говорит, что симметричные компоненты равны по модулю: |τxy| = |τyx|, |τxz| = |τzx| и так далее.
Благодаря этому закону, чтобы полностью задать напряжённое состояние в точке, достаточно указать всего шесть величин:
- три нормальных напряжения;
- три касательных напряжения.
Главные напряжения и главные площадки
В любой точке всегда можно найти три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в ноль, а остаются только нормальные. Такие площадки называют главными, а действующие на них напряжения — главными напряжениями.
Для них применяют особое обозначение — σ1, σ2 и σ3, причём их упорядочивают по убыванию: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Главным напряжениям присуще свойство экстремальности: одно из трёх оказывается наибольшим среди нормальных напряжений на площадках с произвольной нормалью, а другое — наименьшим.
Направления нормалей к главным площадкам называют главными направлениями напряжённого состояния и обозначают цифрами 1, 2, 3.
Три типа напряжённого состояния
По тому, сколько главных напряжений отлично от нуля, различают:
- объёмное — ни одно из главных напряжений не равно нулю;
- плоское — одно из них равно нулю;
- линейное — от нуля отлично лишь одно главное напряжение.
Деформированное состояние в точке
Деформированное состояние в точке — это совокупность относительных линейных деформаций и углов сдвига для всех направлений, проведённых через рассматриваемую точку.
Есть удобное правило: деформированное состояние в точке считается заданным, если для этой точки известен тензор деформации.
Логика здесь такая же, как с напряжениями. Можно выбрать три ортогональных направления с индексами 1, 2, 3 — главные оси деформации. Для них угловые деформации равны нулю, а линейные принимают экстремальные значения и упорядочиваются по алгебраической величине: E1 ≥ E2 ≥ E3. Деформации E1, E2, E3, у которых углы деформации отсутствуют, называют главными деформациями в данной точке. Именно для главных направлений тензор деформации приобретает наиболее простой и удобный вид.
При повороте осей составляющие тензора деформаций меняются так же, как и составляющие тензора напряжений. Например, при плоском напряжённом состоянии деформации на произвольной наклонной площадке можно выразить через главные деформации и угол наклона α. Другой путь — выразить главные деформации через произвольные деформации по двум взаимно перпендикулярным площадкам; положение главных площадок при этом задаётся углом α.
Напряжённо-деформированное состояние и его виды
Напряжённо-деформированное состояние — это совокупность деформаций и напряжений, возникающих в теле под действием внешних нагрузок, температурных полей и прочих факторов.
Основных видов напряжённо-деформированного состояния три.
- Сжатие. Продольная деформация, которая возникает, когда нагрузку прикладывают к телу вдоль его продольной оси.
- Растяжение. Нагрузку прикладывают продольно, направляя её от объекта — параллельно или соосно точкам его крепления.
- Плоский чистый сдвиг. Напряжённое состояние, при котором по граням объекта появляются только касательные напряжения.
Как считают деформации
Для каждого вида есть свой расчётный аппарат:
- при сжатии и растяжении осевую деформацию находят по закону Гука;
- поперечные деформации в этих же случаях определяют по закону Пуассона;
- при плоском чистом сдвиге деформацию сдвига вычисляют по формуле
\gamma = \frac{\tau}{G}
где τ — касательное напряжение, действующее по граням параллелепипеда, а G — площадь грани.
Так и складывается вся картина: сначала напряжённое состояние в точке описывают шестью компонентами тензора, затем переходят к главным напряжениям и деформациям, определяют тип состояния — объёмное, плоское или линейное — и, наконец, через законы Гука, Пуассона и формулу сдвига связывают напряжения с деформациями. Именно эта цепочка и позволяет понять, что происходит с материалом в каждой его точке под нагрузкой.
