Математические высказывания

В повседневном общении мы постоянно делимся мыслями, выражаем личное мнение и констатируем факты. При этом наши слова могут точно отражать реальность, а могут оказаться ошибочными. Правдивые и ложные фразы активно изучаются математиками, а эти логические принципы успешно применяются во многих современных отраслях, включая программирование и точную механику.

Что скрывается под этим термином

Представьте обычный разговор нескольких друзей. Если один из них скажет: «На моей руке сидит зеленый попугай», мы сможем легко проверить этот факт, просто посмотрев на него. Если попугай действительно там есть, человек говорит правду. В противном случае он ошибается или обманывает. А вот если приятель просто произнесет слово «Здравствуйте!», мы никак не сможем оценить эту фразу с позиции правдивости.

Именно поэтому в точных науках высказыванием принято называть исключительно такое повествовательное предложение, о котором можно совершенно однозначно сказать: ложное оно или истинное.

Оценка утверждений: правда или вымысел

Когда мы удостоверились, что перед нами именно логическое высказывание, необходимо определить его статус. Специалисты используют два базовых значения истинности: правду традиционно обозначают заглавной буквой «И» (истина), а неправду — буквой «Л» (ложь).

Давайте проверим несколько конкретных примеров:

«Квадратные единицы служат для измерения площади» — это абсолютная истина (И).
«Ласточки относятся к категории зимующих птиц» — это неверная информация (Л).
«Обычный сахар отличается ярко выраженным солёным вкусом» — перед нами явная ложь (Л).
«Подлежащее со сказуемым формируют грамматическую основу любой фразы» — это доказанный факт (И).

Для удобной систематизации большого объема данных часто составляют специальные таблицы истинности, куда заносят результаты проверки различных фраз.

Равенства и неравенства в логике

Числовые примеры также относятся к рассматриваемой нами категории, поскольку любой подсчет может быть выполнен правильно или с ошибкой.

Пример 1

Допустим, двое школьников решали один и тот же пример. Первый ученик написал: 2 * 3 - 1 * 2 = 4. Второй решил иначе: 2 * 3 - 1 * 2 = 5. Если мы внимательно всё пересчитаем, то увидим, что первый ребенок нашел правильный ответ. Следовательно, его запись является истинным высказыванием. А вот второй допустил математическую ошибку, поэтому его вариант признается ложным.

Сравнивать числа с помощью знаков «больше» и «меньше» нужно по аналогичному принципу:

Выражение 5 > 9 является в корне неверным, то есть ложным.
Конструкция 3 < 8 полностью соответствует действительности, поэтому она истинна.

Особенности работы с переменными

Порой встречаются примеры, где присутствует неизвестная буква (переменная). Попробуем определить статус следующего выражения: a * 5 = 15.

Мы не сможем сразу дать точный ответ, так как всё упирается в то, какое именно число спрятано под буквой «а». Если мы подставим туда тройку (3 * 5 = 15), то получим стопроцентную истину. Любые другие цифры сделают эту запись ошибочной. Подобные конструкции, зависящие от переменной, в математике принято называть высказывательными формами.

Замечание 1

Существуют и уникальные правила, которые работают безотказно при любых значениях. Например, свойство умножения на ноль: a * 0 = 0. Какое бы число мы ни поставили вместо неизвестной буквы, равенство всегда будет верным. Множеством решений здесь выступают абсолютно все существующие числа.

Но бывает и противоположная ситуация. Если мы запишем выражение x : 0 = 5, оно будет оставаться ложным при попытке подставить любую цифру. Как мы знаем, делить на ноль нельзя. В таком случае математики говорят, что множество подходящих значений является абсолютно пустым.

Блок самопроверки

Подведем короткие итоги пройденного материала. Запомните два ключевых правила:

Высказывание представляет собой фразу, которую можно четко охарактеризовать как правдивую или ошибочную.
Любые математические неравенства, а также числовые равенства по умолчанию считаются высказываниями.