Магнетон Бора

Содержание:

15 апреля 2023
8 минут
990

Преподаватель физики

Определение 1

Магнетон Бора считается единицей элементарного момента.

Эта величина была названа в честь Нильсона Бора. Определение магнетона Бора по формуле:

$μ_{B} = \frac{e h}{2 c m_{e}}$ в системе $С И$ , где $h$ считается в качестве постоянной Планка, $e$ – элементарного заряда, $m_{e}$ – массы электрона.

В зависимости от выбранной системы единиц значение магнетона Бора равняется:

$μ_{B} = 927, 400915 (26) \cdot 10^{- 26} Д ж / Т л$ ;
$μ_{B} = 927, 400915 (26) \cdot 10^{- 23} э р г / Г с$
$μ_{B} = 5, 7883817555 (79) \cdot 10^{- 5} э В / Т л$
$μ_{B} = 5, 7883817555 (79) э В / Г с$

Физический смысл величины $μ_{В}$ понимается из полуклассического рассмотрения движения электрона по круговой орбите с радиусом $r$ и скоростью $v$ . Данная система аналогична витку с током, сила которого равняется заряду, который был поделен на период вращения $I = \frac{e v}{2 πr}$ . По классической электродинамике магнитный момент витка с током, охватывающего площадью $S$ , в СГС равняется:

$μ = \frac{I S}{c} = \frac{e v r}{2 c} = \frac{e M_{l}}{2 m c}$ , где $M_{l} = m v r$ является орбитальным моментом количества движения электрона. При учитывании квантового закона орбитальный момент $M_{l}$ электрона принимает только дискретные значения, кратные постоянной Планка, $M_{l} = h l$ , с $l$ , являющимся орбитальным квантовым числом, принимающим значения $0, 1, 2, \dots, n - 1$ , получаем выражение вида:

$μ_{l} = \frac{e h l}{2 m c} = μ_{B} \cdot l$ .

Следовательно, магнитный момент электрона кратен магнетону Бора. Данный случай показывает важность $μ_{B}$ в роли элементарного магнитного момента – «кванта» магнитного момента электрона.

Определение 2

Кроме орбитального момента количества движения $M_{l}$ , обусловленного вращением, электрон характеризуется собственным механическим моментом, называемым спином, равняющимся $s = \frac{1}{2}$ (в единицах $h$ ).

Значение спинового магнитного момента $μ_{S} = 2 μ_{B} s$ , что означает результат в $2$ раза больше ожидаемого при использовании формулы $(1)$ , но $s = \frac{1}{2}$ , поэтому $μ_{S} = μ_{B}$ . Данный факт следует из релятивистской квантовой теории электрона, основанной на уравнении Дирака.

Дипольный магнитный момент электрона

Определение магнитного заряда в системе СГС выполняется через известное выражение:

$g_{m} = \frac{e h}{2 c}$ .

Произведем выделение магнитного заряда в формуле магнетона Бора. Тогда упростим:

$μ_{B} = \frac{e h}{2 c m_{e}} = \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}} \cdot g_{m} = r_{0} \cdot g_{m}$ , где $r_{0} = \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}} = \frac{a_{E} λ_{0}}{2 π}$ является классическим радиусом электрона, а $a_{E} = \frac{e^{2}}{c h}$ – электрической постоянной тонкой структуры, $λ_{0} = \frac{h}{m_{e} c}$ – комптоновской длиной волны электрона.

Отсюда следует, что в системе СГС размерность магнетона Бора совпадает с размерностью магнитного момента диполя. Это выражается при помощи формулы вида:

$p_{B} = r_{0} \cdot g_{m} = μ_{B}$ .

Система СИ

Если производить вычисления в системе $С И$ , то магнетон Бора выглядит иначе:

$μ_{B} = \frac{e h}{2 m_{e}}$ , а магнитный заряд:

$g_{m} = \frac{h}{e}$ .

Для выделения магнитного заряда из выражения для магнетона Бора запишем:

$μ_{B} = \frac{e^{2}}{4 π m_{e}} \cdot g_{m} = \frac{r_{0}}{μ_{E}} \cdot g_{m}$ , где $r_{0} = \frac{a_{E} λ_{0}}{2 π}$ является классическим радиусом электрона, $μ_{E}$ – магнитной постоянной.

Следовательно, размерность магнетона Бора в системе $С И$ значительно отличается от размерности магнитного дипольного момента электрона. Тогда запись магнетона будет:

$p_{B} = r_{0} \cdot g_{m} = μ_{E} μ_{B}$ .

Круговой виток тока

Большинство учебников с использованием системы $С И$ предлагают неверное определение магнитного момента кругового тока:

$p_{c} = I \cdot S$ с $I$ , обозначающим электрический ток, а $S$ – площадь, которая им ограничена. Формально выражение аналогично находящемуся в системе СГС, где оно изначально трактовано неверно. На самом деле определение магнитного дипольного момента кругового тока в $С И$ проходит:

$p_{c} = μ_{E} \cdot I \cdot S$ , то есть с учитыванием магнитной постоянной.

Проблема, порождаемые магнетоном Бора

При известной величине магнетона производится оценка классической скорости движения заряда. В действительности запись классического выражения для дипольного магнитного момента приобретает вид:

$P_{D c l} = r \cdot g_{m}$ , где $g_{m} = 0.5 μ_{E} e υ$ считается классическим определением «магнитного заряда». В этот же момент вид магнитного дипольного момента в механике обозначается как:

$P_{q} = r_{0} \cdot g_{m 0}$ с $r_{0}$ в качестве классического радиуса электрона, $g_{m 0} = \frac{h}{e}$ – квантового значения «магнитного заряда». Если приравнять классическое и квантовое значение магнитного диполя, получим:

$P_{D c l} = P_{D q}$ .

Для нахождения следующего значения магнитного заряда используется выражение:

$g_{m} = 0, 5 μ_{E} e υ = \frac{h}{e}$ , где производится оценка для скорости движения электрического заряда. Запись принимает вид:

$υ_{m a x} = \frac{2 h}{μ_{E} e^{2}} = \frac{c}{a_{E}}$ .

Очевидно, что значение выше указанной скорости превышает значение скорости света в $137$ раз. Следовательно, классическая и релятивистская теория локальны при исследовании квантовых и магнитных полей. По релятивистской теории основное ограничение на скорость движения материальной частицы считается бесконечным возрастанием ее массы при скоростях, близких к скорости света. Случай с магнетоном Бора рассматривает движение электрического заряда, «отделенного» от его массы в микрообъекте. Существует определенная проблема, которая появляется при определении механического момента в квантовой механике.

Проблемы, порождаемые механическим моментом

Классическое определение механического момента записывается в качестве выражения:

$l_{z C l} = {(r \cdot p_{m})}_{z} = m_{0} {(r \cdot v)}_{z}$ .

Квантовый предел характеризуется его значением:

$l_{z Q} = h \cdot m, m = 0, \pm 1, \pm 2, . . .$ .

Если приравнять классическое значение с квантовым для механического момента, получаем:

$l_{z C l} = l_{z Q}$ .

Необходимо найти следующее значение для предельной скорости частицы, тогда:

$υ_{m a x} (r) = \frac{h}{r_{0} m_{0}}$ .

Если радиус равняется классическому радиусу электрона $r_{0}$ , скорость примет вид:

$υ_{m a x} (r) = \frac{c}{a_{E}}$ , которая почти в $137$ раз больше скорости света.

Проблемы, порождаемые гравитоном Бора

Запись классического определения дипольного гравитационного магнитоподобного момента фиксируется в качестве выражения:

$P_{G d} = r \cdot g_{G}$ , где $g_{G} = 0, 5 μ_{G} m_{0} υ$ считается магнитоподобной гравитационной массой. Квантовое определение дипольного гравитационного магнитоподобного момента примет вид:

$P_{G g} = r_{G 0} \cdot g_{G 0}$ с $r_{G 0} = \frac{a_{G} λ_{0}}{2 π}$ , являющейся гравитационным классическим радиусом электрона, $g_{G 0} = \frac{h}{m_{0}}$ – квантом магнитоподобного гравитационного заряда. Если приравнять его классическое и квантовое значение, то:

$P_{G c l} = P_{G q}$ .

Далее переходим к нахождению магнитоподобного гравитационного заряда:

$g_{G} = \frac{μ_{G} m_{0} υ}{2} = \frac{h}{m_{0}}$ .

Максимальное значение для скорости перемещения гравитационной массы очевидно из формулы:

$υ_{m a x} = \frac{2 h}{μ_{G} m_{0}^{2}} = \frac{c}{a_{G}}$ .

Оно больше скорости света на $40$ порядков. То есть скорость света не является ограничительным фактором в макромире, как это справедливо для теории относительности. Иначе говоря, элементарная частица в качестве недопускания наблюдателя в замкнутый объект и та, которая выбирается относительно произвольной системы отсчета.