RLC-контур. Свободные колебания

Содержание:

Преподаватель физики

$R L C$ -контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный $R L C$ -контур, изображенный на рис. $2.2.1 .$

RLC-контур

Рисунок $2.2.1 .$ Последовательный $R L C$ -контур.

Находясь в положении $1$ , ключ $К$ позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения $δ$ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа $К$ во второе положение и происходит через катушку индуктивности $L$ и резистор $R$ . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой $R L C$ -цепи закон Ома представляет из себя выражение:

$J R + U = - L \frac{d J}{d t}$ .

В данной формуле $U = \frac{q}{C}$ – напряжение на конденсаторе, $q$ является обозначением заряда конденсатора, а $J = \frac{d q}{d t}$ – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора $q (t)$ берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в $R L C$ -контуре уравнение может быть приведено к виду:

$\overset{\cdot \cdot}{q} + \frac{R}{L} \overset{\cdot}{q} + \frac{1}{L C} q = 0$ .

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

$\overset{\cdot \cdot}{q} + ω_{0}^{2} q = 0$ .

Примем обозначение $ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C}$ . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в $L C$ - контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке $2.2.2 .$ На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения $x (t)$ груза и $q (t)$ конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока $J (t)$ и скорости груза $υ (t)$ за период $T = \frac{2 π}{ω_{0}}$ колебаний.

RLC-контур

Рисунок $2.2.2 .$ Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Электрические величины		Механические величины
Заряд конденсатора	$q (t)$	Координата	$x (t)$
Ток в цепи	$J = \frac{d q}{d t}$	Скорость	$ν = \frac{d x}{d t}$
Индуктивность	$L$	Масса	$m$
Величина, обратная электроемкости	$\frac{1}{C}$	Жесткость	$k$
Напряжение на конденсаторе	$U = \frac{q}{C}$	Упругая сила	$k x$
Энергия электрического поля конденсатора	$\frac{q^{2}}{2 C}$	Потенциальная энергия пружины	$\frac{k x^{2}}{2}$
Магнитная энергия катушки	$\frac{L I^{2}}{2}$	Кинетическая энергия	$\frac{m ν^{2}}{2}$
Магнитный поток	$L I$	Импульс	$m υ$

Свободные колебания

Определение 1

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

$q (t) = q_{0} \cos (ω t + φ_{0})$ .

Параметры $L$ и $C$ колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

$ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{L C}}$

Определение 2

«Начальными условиями», определяющими амплитуду $q_{0}$ и начальную фазу $φ_{0}$ , называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: $F_{т р} = - β υ$ .

В данной формуле сопротивление $R$ электрического контура аналогично коэффициенту $β$ . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

$\overset{\cdot \cdot}{q} + 2 δ \overset{\cdot}{q} + ω_{0}^{2} q = 0$

Определение 3

Коэффициентом затухания называется физическая величина $δ = \frac{R}{2 L}$ .

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

$q (t) = q_{0} e^{- δ t} \cos (ω t + φ_{0})$ ,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель $e x p (- δ t)$ . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления $R$ контура.

Определение 4

Интервал времени $τ = \frac{1}{δ}$ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в $e \approx 2, 7$ раза, называется временем затухания.

Понятие добротности $Q$ колебательной системы:

$Q = π N = π \frac{τ}{T}$ ,

где $N$ является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания $τ$ .

Определение 5

Любая добротность $Q$ , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:

$Q = 2 π \frac{З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е}{П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д}$

Добротность $Q$ , принадлежащая $R L C$ -контуру, выражают формулой:

$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте $ω_{0}$ идеального контура с такими же значениями $L$ и $C$ . Однако при $Q \geq (5 \div 10)$ данным различием можно пренебречь.

Свободные колебания

Рисунок $2.2.4 .$ Модель свободных колебаний в $R L C$ -контуре.

Курсовая работа по физике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по физике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по физике

от 1 дня/ от 150 р.