Вынужденные колебания. Переменный ток

Дадим определение понятию вынужденных колебаний.

Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.

Что такое переменный ток?

Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ${\omega }^0$. Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой $\omega$.

Частота свободных колебаний в электрической сети ${\omega }^0$ будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника $\omega$, будут происходить на частоте этого внешнего источника.

Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время $\Delta t$. По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети $\tau$.

Цепи переменного тока

Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:

$e\left(t\right)={\epsilon }_0\cos \omega \mathrm{t,}$

$$где ${\epsilon }_0$ – амплитуда, $\omega$ – круговая частота.

Фактически, это будет $RLC$-цепь.

Рисунок $2.3.1.$ Вынужденные колебания в контуре.

Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:

$RJ+\frac{q}{C}+L\frac{dJ}{dt}={\epsilon }_{0}coc \omega \mathrm{t.}$

Величину $L\frac{dJ}{dt}$ принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

$u_R+u_C+u_L=e\left(t\right)={\epsilon }_0\cos \omega \mathrm{t.}$

где $u_R \left(t\right), u_C \left(t\right)$ и $u_L \left(t\right)$ – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами $U_R, U_C$ и $U_L$. Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока $\omega$.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты $\omega$.

Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок $2.3.2.$ Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания $A \cos (\omega t+{\phi }_1), B \cos (\omega t+{\phi }_2)$ и их суммы $C \cos (\omega t+\phi )$.

Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$, а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний $A$ и $B$. Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: $∆\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$. Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$.

При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.

Источник переменного тока может быть подключен к:

• катушке индуктивности $L$;
• резистору с сопротивлением $R$;
• конденсатору с емкостью $С$.

Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

$J_{R}R=u_R=U_R\cos \omega t; J_R=\frac{U_R}{R}\cos \omega t=I_R\cos \omega t$

Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через $I_R$. Соотношение $R{I}_R=U_R$ выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина $R$ – это активное сопротивление на резисторе.

Конденсатор в цепи переменного тока 

Запишем формулу:

$u_C=\frac{q}{C}=U_C\cos \omega t$

$J_C=\frac{dq}{dt}=C\frac{d{u}_C}{dt}=C{U}_C(-\omega \sin \omega t)=\omega C{U}_C\cos \left(\omega t+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=I_C\cos \left(\omega t+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$.

Соотношение между амплитудами тока $I_C$ и напряжения $U_C$: $\frac{1}{\omega C}IC=U_C$.

Ток опережает по фазе напряжение на угол $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Катушка в цепи переменного тока

Запишем формулы:

$$\begin{gathered} U_L=L\frac{d{J}_L}{dt}=U_L\cos \omega t; \\ {J}_L=\int \frac{U_L}{L}\cos \omega t dt=\frac{U_L}{\omega L}\sin \omega t=\frac{U_L}{\omega L}\cos \left(\omega t-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=I_L\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right) \end{gathered}$$

Соотношение между амплитудами тока $I_L$ и напряжения $U_L$: $\omega L{I}_L=U_L$.

Ток отстает по фазе от напряжения на угол $\frac{\pi }{2}$.

Построим векторную диаграмму для последовательного $RLC$-контура, частота вынужденных колебаний в котором ω.

При построении диаграммы будем учитывать, что через различные участки цепи протекает один и тот же ток. Удобнее делать это будет относительно вектора, который изображает колебания тока в цепи.

Для амплитуды тока введем обозначение $I_0$. Фазу тока примем равной нулю, так как в данном случае нас интересуют не столько абсолютные значения фаз, сколько относительные фазовые сдвиги.

Рисунок $2.3.3.$ Векторная диаграмма для последовательной $RLC$-цепи.

Данная диаграмма построена для случая, когда $\omega L>\frac{1}{\omega C}$ или ${\omega }^2>{\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$.

По фазе напряжение внешнего источника опережает ток, который течет в цепи, на некоторый угол $\phi$. 

Из рисунка видно, что

${\epsilon }_0^2=U_R^2+(U_L-U_C{)}^2$, откуда следует, что

$I_0=\frac{{\epsilon }_0}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}\right)}^2}}; tg \phi =\frac{\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}}{R}$.

Из выражения для $I_0$ видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии 

$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$ или ${\omega }^2={\omega }_{рез}^2={\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$.

Понятие электрического резонанса

При резонансе ${\left(I_0\right)}_{рез}=\frac{{\epsilon }_0}{R}$.

При резонансе сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи равен нулю. Если речь идет о последовательной $RLC$-цепи, то такой резонанс называется резонансом напряжения.

С помощью векторной диаграммы явление резонанса можно исследовать аналогичным образом при другой последовательности элементов. Параллельное соединение элементов $R, L$ и $C$ позволяет получить резонанс токов.

При последовательном резонансе $(\omega ={\omega }_0)$ амплитуды $U_C$ и $U_L$ напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: ${\left(U_L\right)}_{рез}={\left(U_C\right)}_{рез}={\omega }_{0}L(I_0{)}_{рез}=\frac{{\epsilon }_0}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

Ранее было введено понятие добротности $RLC$-контура: $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в $Q$ раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок $2.3.4.$ Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности $Q$.

Рисунок иллюстрирует процессы, происходящие в последовательном электрическом контуре, а также зависимость между такими величинами как амплитуды $U_C$ напряжения на конденсаторе к амплитуде ${\epsilon }_0$ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности $Q$. В контурах с низкой добротностью максимум резонансных кривых сдвинут в область низких частот.