Уравнение Шредингера

Содержание:

26 августа 2023
4 минуты
614

Преподаватель физики

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме $d V$ в области с координатами $x y z$ , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В $1962$ г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( $1887 - 1961$ , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Замечание 1

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

$- \frac{h}{2 m} \nabla^{2} Ψ + U (x, y, z, t) Ψ = i h \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial t^{2}}$ .

Здесь $m$ обозначает массу частицы, $i^{2}$ - мнимую единицу, $\nabla$ – так называемый оператор Лапласа, равный $(\nabla^{2} Ψ = \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial z^{2}})$ , $Ψ$ – искомую волновую функцию, а выражение $U (x, y, z, t)$ соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция $U$ не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

$Ψ (x, y, z, t) = Ψ (x, y, z) e^{- i \frac{E}{h} t}$ .

Параметр $E$ обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение $E$ остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

$- \frac{h^{2}}{2 m} \nabla^{2} Ψ + U Ψ = E Ψ$ .

$\nabla^{2} Ψ + \frac{2 m}{h^{2}} (E - U) Ψ = 0$ .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

$\hat{H} Ψ = E Ψ$ .

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона $\hat{H}$ . Его можно найти, сложив значения операторов $- \frac{h^{2}}{2 m} \nabla^{2} + U = \hat{H}$ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии $E$ .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.