Потенциальность электростатического поля

21 декабря 2023
7 минут
2 328

Преподаватель физики

Определение 1

Потенциальное (консервативное) поле − это поле, в котором работа при перемещении зависит только лишь от конечной и начальной точки пути и не зависит от траектории движения тела.

Что такое потенциальное поле

Есть и другое абсолютно равнозначное определение потенциальности поля (консервативной силы).

Определение 2

Поле называется потенциальным, если при перемещении по любому замкнутому контуру работа сил поля равняется $0$ .

Известно, что сила гравитации $(F_{G} ~ \frac{1}{r^{2}})$ , которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, является потенциальной, при этом ее потенциальность обусловлена именно обратно пропорциональной зависимостью от расстояния. Сила Кулона тоже обратно пропорциональна квадрату расстояния. Напомним закон Кулона $(F_{E} ~ \frac{1}{r^{2}})$ . Все математическое описание потенциала создавалось при изучении сил гравитации. Понятие о потенциале появилось в работах Ж. Л. Лагранжа в $1777$ году. Определение «потенциал» было введено в науку намного позже Дж. Грином и К. Ф. Гауссом.

Определение 3

На основе принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля.

Доказательство 1

Легко докажем это математически. Циркуляция вектора напряженности поля точечного заряда $(\vec{E_{i}})$ по любому замкнутому контуру равняется $0$ :

$\oint_{L} \vec{E_{i}} d \vec{s} = 0$ .

Если поле создает $N$ точечных зарядов, тогда по принципу суперпозиции результирующее поле находим как:

$\vec{E} = \sum_{i} \vec{E_{i}}$ .

Находим интеграл:

$\oint_{L} \vec{E} d \vec{s} = \oint_{L} \sum_{i} \vec{E_{i}} d \vec{s} = \sum_{i} \oint_{L} \vec{E_{i}} d \vec{s} = \sum_{i} 0 = 0$ .

Приведенный выше критерий потенциальности поля не дифференциален, поэтому его трудно применять. Нужно проверять равенство $0$ работы по замкнутому контуру. А это означает, что необходимо анализировать бесконечное число циклов, что, в конечном итоге, невозможно. Критерий потенциальности применим лишь в случае, когда известна аналитическая формула работы, что не всегда возможно. Поэтому нужно отыскать другой критерий потенциальности поля, который был бы прост в применении. Данным критерием является дифференциальная формулировка. Она определяется при помощи понятия ротор вектора $(r o t \vec{A})$ .

Что такое ротор. Практические задачи

Определение 4

Ротор − это вектор, проекция которого на направление единичного вектора $\vec{n}$ определяется таким образом:

$r o t_{n} \vec{A} = \lim_{∆ S \to 0} \frac{\oint \vec{A} \cdot d \vec{s}}{∆ S}$ ,

где $∆ S$ − это площадь, которая лежит в плоскости перпендикулярной к $\vec{n}$ , ограниченная малым контуром $L$ , на контуре $L$ − это направление положительного обхода связано с $\vec{n}$ правилом правого винта.

Замечание 1

Обращаем внимание, что в формуле большой буквой $S$ обозначена площадь, а маленькой буквой $s$ − линейное перемещение.

Ротор описывает интенсивность «завихрения» вектора. На практике при вычислении ротора применяют следующие формулы:

$r o t \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{k} \end{matrix}|$ .

Независимость работы от пути перемещения заряда в электростатическом поле выражается формулой:

$\int_{A L_{1}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{A L_{2}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ .

где $L_{1}$ и $L_{2}$ − это различные пути между точками $А$ и $В$ . При замене местами пределов интегрирования получаем:

$\int_{A L_{2}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \int_{B L_{2}}^{A} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ .

Выражение $\int_{A L_{1}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{A L_{2}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ представим в виде:

$\int_{A L_{1}}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{B L_{2}}^{A} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \oint_{L} \vec{E} \cdot d \vec{s} = 0$ .

где $L = L_{1} + L_{2}$ . Применяем формулу Стокса:

$\int_{S} r o t \vec{A} \cdot d \vec{S} = \oint_{L} \vec{A} \cdot d \vec{s}$ ,

к уравнению выше, получаем:

$\oint_{L} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{S} r o t \vec{E} \cdot d \vec{S} = 0$ ,

где $S$ − это поверхность, ограниченная контуром $L$ . Поскольку поверхность произвольная, то интеграл в выражении $\oint_{L} \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_{S} r o t \vec{E} \cdot d \vec{S} = 0$ может равняться $0$ , только если равняется $0$ подынтегральное выражение, а поскольку $d \vec{S} \neq 0$ то есть:

Определение 5

$r o t \vec{E} = 0$ .

Это дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля.

Что такое ротор. Практические задачи — Пример 1

Определение 6

Тангенциальные составляющие − это касательные к произвольной поверхности в любой ее точке. Непрерывность значит, что значения касательных составляющих напряженности одинаковы по обеим сторонам поверхности.

Пример 3

Допустим обратное. Пускай вдоль поверхности $S$ (рисунок $2$ ) непрерывности нет. Это означает, что если $1, 2$ и $3, 4$ разделенные поверхностью $S$ , но бесконечно близкие друг к другу точки, тогда работа электростатических сил на пути $1 \to 2$ отличается на конечную величину от работы тех же сил на пути $3 \to 4$ . Так как мы считаем, что отрезки $1 \to 2$ и $3 \to 4$ бесконечно малы, силы конечны, значит, и работа, которую выполняют электрические силы на заданных отрезках, бесконечно малая величина. Выходит, что работа на пути $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$ не должна равняться $0$ . То есть работа сил по перемещению пробного заряда по замкнутому контуру не равняется $0$ . Это невозможно, поскольку электростатическое поле потенциально. Мы показали, что тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля не непрерывны.