Свободные и связанные заряды

Когда рассматриваются диэлектрики в электростатических полях, следует различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Поверхностная плотность зарядов

Известно:

${\phi }_0=\int \frac{\rho dV}{R}+\int \frac{\sigma dS}{R} \left(2\right)$, $\rho$ - это объемная плотность свободных зарядов, $\sigma$ - их поверхностная плотность. Определение потенциала поля связанных зарядов:

$\phi \text{'}=\int \frac{\overrightarrow{P}\overrightarrow{R}}{R^3}dV \left(3\right)$, где $\overrightarrow{P}$ служит вектором поляризации.

Можно сделать вывод, что из $\left(1\right)$ и $\left(3\right)$ получим:

$\phi ={\phi }_0+\int \frac{\overrightarrow{P}\overrightarrow{R}}{R^3} \left(4\right)$.

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса с некоторыми формулами векторного анализа имеем совсем иной вид уравнения $\left(4\right)$:

$\phi ={\phi }_0+\int \frac{{\rho }_{s\upsilon }}{R}dV+\int \frac{{\sigma }_{s\upsilon }}{R}dV=\int \frac{{\rho }_{s\upsilon }+\rho }{R}dV+\int \frac{{\sigma }_{s\upsilon }+\sigma }{R}dV \left(5\right)$,

где ${\rho }_{s\upsilon }$ обозначается в качестве средней объемной плотности связанных зарядов, а ${\sigma }_{s\upsilon }$ - средняя поверхностная плоскость связанных зарядов. По уравнению $\left(5\right)$ видно, что при наличии диэлектрика электрическое поле совпадает с полем, созданным свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

Если $\overrightarrow{P}=const$, то средняя плотность связанных зарядов равняется нулю. Это говорит о том, что накопление зарядов одного знака в диэлектрике не происходит. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

${\sigma }_{s\upsilon }=\pm P_n, -div \overrightarrow{P}={\rho }_{s\upsilon } \left(6\right)$ с $P_n$, являющейся нормальной компонентой вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция $\phi$ вида $\left(7\right)$ будет решением уравнения:

${\nabla }^2\phi =-4\pi (\rho +{\rho }_{s\upsilon }) \left(7\right)$.

При $\overrightarrow{E}=-\nabla \phi \to div \overrightarrow{E}=-{\nabla }^2\phi \left(8\right)$ и $\left(6\right)$ получим:

$div \overrightarrow{E}=4\pi \rho -4\pi div \overrightarrow{P} \left(9\right)$.

Для получения полной системы уравнений электростатики, нужно использовать формулу $\left(10\right)$ с определением, связывающим векторы напряженности электрического поля с векторами поляризации.

Зависимость $\overrightarrow{P }\left(\overrightarrow{E}\right)$ представится как:

$P_i={\epsilon }_0\sum _j{\chi }_{ij}{E}_j+{\epsilon }_0\sum _{j,k}{\chi }_{ijk}{E}_j{E}_k+... \left(11\right)$, где $i, j$ служат для нумерации компонентов по осям декартовой системы координат $(i=x, y, z; j=x, y, z), {\chi }_{ij}$ - это тензор диэлектрической восприимчивости.

Если имеется внешнее электрическое поле, вещество становится источником поля, значит, поле изменяется.