Свободные и связанные заряды

Когда рассматриваются диэлектрики в электростатических полях, следует различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Определение 1

Свободные заряды – это заряды, перемещающиеся под действием поля на существенные расстояния.

Например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привносимые извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, входящие в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как ионы, закрепленные в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, получили название связанных зарядов.

Поверхностная плотность зарядов

Определение 2

Формула потенциала электростатического поля в диэлектрике $φ$ $φ$ запишется как:

$φ = φ_{0} + φ' (1)$ $φ = φ_{0} + φ' (1)$ с $φ_{0}$ $φ_{0}$ , являющимся потенциалом поля, создаваемого свободными зарядами, с
$φ'$ $φ'$ - потенциалом поля, создаваемого связанными зарядами.

Известно:

$φ_{0} = \int \frac{ρ d V}{R} + \int \frac{σ d S}{R} (2)$ $φ_{0} = \int \frac{ρ d V}{R} + \int \frac{σ d S}{R} (2)$ , $ρ$ $ρ$ - это объемная плотность свободных зарядов, $σ$ $σ$ - их поверхностная плотность. Определение потенциала поля связанных зарядов:

$φ' = \int \frac{\to P \to R}{R^{3}} d V (3)$ $φ' = \int \frac{\vec{P} \vec{R}}{R^{3}} d V (3)$ , где $\to P$ $\vec{P}$ служит вектором поляризации.

Можно сделать вывод, что из $(1)$ $(1)$ и $(3)$ $(3)$ получим:

$φ = φ_{0} + \int \frac{\to P \to R}{R^{3}} (4)$ $φ = φ_{0} + \int \frac{\vec{P} \vec{R}}{R^{3}} (4)$ .

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса с некоторыми формулами векторного анализа имеем совсем иной вид уравнения $(4)$ $(4)$ :

$φ = φ_{0} + \int \frac{ρ_{s υ}}{R} d V + \int \frac{σ_{s υ}}{R} d V = \int \frac{ρ_{s υ} + ρ}{R} d V + \int \frac{σ_{s υ} + σ}{R} d V (5)$ $φ = φ_{0} + \int \frac{ρ_{s υ}}{R} d V + \int \frac{σ_{s υ}}{R} d V = \int \frac{ρ_{s υ} + ρ}{R} d V + \int \frac{σ_{s υ} + σ}{R} d V (5)$ ,

где $ρ_{s υ}$ $ρ_{s υ}$ обозначается в качестве средней объемной плотности связанных зарядов, а $σ_{s υ}$ $σ_{s υ}$ - средняя поверхностная плоскость связанных зарядов. По уравнению $(5)$ $(5)$ видно, что при наличии диэлектрика электрическое поле совпадает с полем, созданным свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

Если $\to P = c o n s t$ $\vec{P} = c o n s t$ , то средняя плотность связанных зарядов равняется нулю. Это говорит о том, что накопление зарядов одного знака в диэлектрике не происходит. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

$σ_{s υ} = \pm P_{n}, - d i v \to P = ρ_{s υ} (6)$ $σ_{s υ} = \pm P_{n}, - d i v \vec{P} = ρ_{s υ} (6)$ с $P_{n}$ $P_{n}$ , являющейся нормальной компонентой вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция $φ$ $φ$ вида $(7)$ $(7)$ будет решением уравнения:

$\nabla^{2} φ = - 4 π (ρ + ρ_{s υ}) (7)$ $\nabla^{2} φ = - 4 π (ρ + ρ_{s υ}) (7)$ .

При $\to E = - \nabla φ \to d i v \to E = - \nabla^{2} φ (8)$ $\vec{E} = - \nabla φ \to d i v \vec{E} = - \nabla^{2} φ (8)$ и $(6)$ $(6)$ получим:

$d i v \to E = 4 π ρ - 4 π d i v \to P (9)$ $d i v \vec{E} = 4 π ρ - 4 π d i v \vec{P} (9)$ .

Определение 3

$d i v (\to E + 4 π \to P) = 4 π ρ (10)$ $d i v (\vec{E} + 4 π \vec{P}) = 4 π ρ (10)$ .

Выражение $(10)$ $(10)$ называют основным дифференциальным уравнением электростатического поля в любой произвольной среде.

Для получения полной системы уравнений электростатики, нужно использовать формулу $(10)$ $(10)$ с определением, связывающим векторы напряженности электрического поля с векторами поляризации.

Зависимость $\to P (\to E)$ $\vec{P} (\vec{E})$ представится как:

$P_{i} = ε_{0} \sum_{j} χ_{i j} E_{j} + ε_{0} \sum_{j, k} χ_{i j k} E_{j} E_{k} + . . . (11)$ $P_{i} = ε_{0} \sum_{j} χ_{i j} E_{j} + ε_{0} \sum_{j, k} χ_{i j k} E_{j} E_{k} + . . . (11)$ , где $i, j$ $i, j$ служат для нумерации компонентов по осям декартовой системы координат $(i = x, y, z; j = x, y, z), χ_{i j}$ $(i = x, y, z; j = x, y, z), χ_{i j}$ - это тензор диэлектрической восприимчивости.

Если имеется внешнее электрическое поле, вещество становится источником поля, значит, поле изменяется.