Теорема Гаусса

Определение 1

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку $S$ ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора $\vec{E}$ , площади $Δ S$ и косинуса угла $α$ между вектором и нормалью к площадке:

$Δ Φ = E Δ S \cos α = E_{n} Δ S.$

В данной формуле $E_{n}$ является модулем нормальной составляющей поля $\vec{E}$ .

Пример 1

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность $S$ . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера $Δ S_{i}$ , рассчитаем элементарные потоки $Δ Φ_{i}$ поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток $Φ$ вектора через замкнутую поверхность $S$ (рис. $1.3.2$ ):

$Φ = \sum ∆ Φ_{i} = \sum E_{m} ∆ S_{i}$

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Поток вектора напряженности

Рисунок $1.3.2 .$ Расчет потока $Ф$ через произвольную замкнутую поверхность $S$ .

Теорема 1

Поток вектора напряженности электростатического поля $\vec{E}$ через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную $ε_{0}$ .

Уравнение Гаусса имеет вид:

$Φ = \frac{1}{ε_{0}} \sum q_{в н у т р}$

Доказательство 1

Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) $S$ . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд $q$ . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:

$E = E_{n} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q}{R^{2}}$ ,

где $R$ является радиусом сферы.

Поток $Φ$ через поверхность шара запишется, как произведение $E$ и площади сферы $4 π R^{2}$ . Тогда: $Φ = \frac{1}{ε_{0}} q$ .

Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью $S$ замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу $R_{0}$ (рис. $1.3.3$ ).

Теорема Гаусса. Доказательство

Рисунок $1.3.3 .$ Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность $S$ , окружающую заряд.

Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом $Δ Ω$ при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку $Δ S_{0}$ , а на поверхности $S$ – площадку $Δ S$ . Элементарные потоки $Δ Φ_{0}$ и $Δ Φ$ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

$Δ Φ_{0} = E_{0} Δ S_{0}, Δ Φ = E Δ S \cos α = E Δ S'$ ,

где выражением $Δ S' = Δ S \cos α$ определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом $Δ Ω$ на поверхности сферы радиуса $n$ .

Поскольку $\frac{∆ S_{0}}{∆ S'} = \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}}$ , то $∆ Φ_{0} = ∆ Φ$ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку $Φ_{0}$ через поверхность вспомогательной сферы:

$Φ = Φ_{0} = \frac{q}{ε_{0}}$ .

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность $S$ не охватывает точечный заряд $q$ , поток $Φ$ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. $1.3.2$ . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность $S$ насквозь. Внутри поверхности $S$ зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток $Φ$ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность $S$ сложится из потоков $Φ_{i}$ электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд $q_{i}$ расположен внутри поверхности $S$ , он дает вклад в поток, равный $\frac{q_{i}}{ε_{0}}$ . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Замечание 1

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Пример 2

В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом $R$ . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа $S$ в виде соосного цилиндра некоторого радиуса $r$ и длины $l$ , закрытого с обоих торцов (рис. $1.3.4$ ).

Применение теоремы Гаусса

Рисунок $1.3.4 .$ Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. $O O'$ – ось симметрии.

Если $r \geq R$ , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: $2 π r l$ . Применим закон Гаусса и получим:

$Φ = E 2 π r l = \frac{τ l}{ε_{0}}$ .

В указанном выражении $τ$ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

$E = \frac{τ}{2 π ε_{0} r}$ .

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса $R$ заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая $r < R$ . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен $Φ = E 2 π r l$ . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

Пример 3

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

Пример 4

Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. $1.3.5$ ).

Применение теоремы Гаусса

Рисунок $1.3.5 .$ Поле равномерно заряженной плоскости. $σ$ – поверхностная плотность заряда. $S$ – замкнутая гауссова поверхность.

Здесь гауссову поверхность $S$ оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

$2 E ∆ S = \frac{σ ∆ S}{ε_{0}}$ или $E = \frac{σ}{2 ε_{0}}$ .

Здесь $σ$ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.