Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков

Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Теорема Остроградского-Гауса для тел в вакууме электростатического поля может быть трансформирована с помощью добавления к свободным зарядам поляризационных для получения теоремы с диэлектриками. В этом случае она запишется как:

Со значением $q_{j s υ}$ $q_{j s υ}$ в качестве связанных зарядов, $q_{i}$ $q_{i}$ - свободных зарядов, $Φ_{E}$ $Φ_{E}$ - потока вектора напряженности электрического поля.

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема 1

Если использовать вектор электрического смещения $\vec{D}$ $\vec{D}$ , то это заметно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Теорему Остроградского-Гаусса при наличии диэлектрика можно записать в интегральном виде:

$\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ , где $Q$ $Q$ является суммарным свободным зарядом, находящийся внутри объема, который ограничен поверхностью $S$ $S$ .

Поток вектора $\vec{D}$ $\vec{D}$ через замкнутую поверхность может быть определен только с помощью свободных зарядов. В вакууме векторы $\vec{D}$ $\vec{D}$ и $\vec{E}$ $\vec{E}$ совпадающие.

Определение 1

Дифференциальная форма теоремы Гаусса выражения $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ изображается как:

$d i v \vec{D} = ρ$ $d i v \vec{D} = ρ$ с $ρ$ $ρ$ , являющейся объемной плотностью свободных зарядов.

Теорема Остроградского-Гаусса вида $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ $\oint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} = Q$ и $d i v \vec{D} = ρ$ $d i v \vec{D} = ρ$ справедлива только в электростатике и выполняется для переменных полей. Ее относят к составной части системы уравнений Максвелла.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Напомним формулу вектора электрической индукции:

$\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ $\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ со значением $ε_{0}$ $ε_{0}$ в качестве электрической постоянной, $\vec{E}$ $\vec{E}$ - вектора напряженности, $\vec{P}$ $\vec{P}$ - вектора поляризации.

Произведем подстановку формулы $\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ $\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P}$ в $d i v \vec{D} = ρ$ $d i v \vec{D} = ρ$ :

$d i v \vec{D} = d i v (ε_{0} \vec{E} + \vec{P}) = ε_{0} d i v \vec{E} + d i v \vec{P}$ $d i v \vec{D} = d i v (ε_{0} \vec{E} + \vec{P}) = ε_{0} d i v \vec{E} + d i v \vec{P}$ .

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:

$d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ - d i v \vec{P})$ $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ - d i v \vec{P})$ .

Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:

$d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ + ρ_{s v})$ $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ + ρ_{s v})$ с $ρ_{s v}$ $ρ_{s v}$ , являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ + ρ_{s v})$ $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ + ρ_{s v})$ и $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ - d i v \vec{P})$ $d i v \vec{E} = \frac{1}{ε_{0}} (ρ - d i v \vec{P})$ :

$d i v \vec{P} = - \frac{1}{ε_{0}} c_{s v}$ $d i v \vec{P} = - \frac{1}{ε_{0}} c_{s v}$ .

Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков

Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для $\vec{E}$ $\vec{E}$ поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор $\vec{D}$ $\vec{D}$ .

Пример 2

Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: $1)$ $1)$ все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, $2)$ $2)$ произвести замену сферической поверхности на кубическую?

Решение

По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:

$Φ_{E} = \oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{1}{ε_{0}} (q + \sum_{j = 1}^{K} q_{j s v})$ $Φ_{E} = \oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{1}{ε_{0}} (q + \sum_{j = 1}^{K} q_{j s v})$ , со значением $q_{j s v}$ $q_{j s v}$ в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, $q$ $q$ в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.

Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:

$Φ_{E} = \oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{1}{ε_{0}} q$ $Φ_{E} = \oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{1}{ε_{0}} q$ .

Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.

Ответ: