Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где $\rho$ является плотностью распределения заряда, ${\epsilon }_0$ - электрической постоянной, $div \overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$ - дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку $\left(2\right)$ в $\left(1\right)$:

Учитывая, что $divgrad \phi ={\nabla }^2\phi =\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}$, где $∆={\nabla }^2$ - это оператор Лапласа, равенство $\left(3\right)$ принимает вид:

Выражение $\left(4\right)$ получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя $\left(2\right)$. Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

• значение потенциала как непрерывная функция;
• потенциал должен быть конечной функцией;
• производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме $V$, решение уравнения $\left(4\right)$ будет выражаться для потенциала вида:

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

$E_{2n}-E_{1n}=4\pi \sigma$, или $\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}-\frac{{\displaystyle \partial {\phi }_2}}{{\displaystyle \partial n}}=0$.

$E_{1\tau }=E_{2\tau }$.

${\phi }_1={\phi }_2$,

где $\sigma$ - это поверхностная полость свободных зарядов, $n$ – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды $1$ в $2$, $\tau$ - единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических $\left(r, \theta , \upsilon \right)$ уравнение Пуассона запишется как:

$\frac{1}{r^2}·\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta \partial \theta }\left(\sin \theta ·\frac{\partial \phi }{\partial \theta }\right)+\frac{{\partial }^2\phi }{r^2{\sin }^2\theta \partial {\phi }^2}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho$.

В полярных $\left(r, \theta \right)$:

$\frac{1}{r}·\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2\phi }{r^2\partial {\theta }^2}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho$.

В цилиндрических $\left(r, \upsilon , z\right)$:

$\frac{1}{r}·\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{r^2\partial {\upsilon }^2}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho$.

Примеры решения задач