Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Классическая теория электропроводности металлов

Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.

Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют "электронный газ".

Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь $\lambda$. 

Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.

Приведем основные положения теории Друде:

1. Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
2. Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
3. Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна $\frac{1}{\tau }$.
4. Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.

Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:

Здесь $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура металла, $m$ - масса электрона.

При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц "электронного газа" накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью . Величину этой скорости можно оценить из соотношения:

,

где $j$ - плотность тока, $n$ - концентрация свободных электронов, $q$ - заряд электрона.

При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз ($\approx {10}^8$) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что

$\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\approx \left|\overrightarrow{v}\right|$

Формула Друде

Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:

$\sigma =\frac{n{q}^2\tau }{m^{*}}$

Здесь $m^{*}$ - эффективная масса электрона, $\tau$ - время релаксации, то есть время, за которое электрон "забывает" о том, в какую сторону двигался после соударения.

Друде вывел закон Ома для токов в металле:

$j=\sigma ·\overrightarrow{E}$

Опыт Толмена и Стюарта

В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.

Суть опыта была в следующем. 

Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение $v\text{'}$ (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.

$F=-mv\text{'}$

Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле $E=-\frac{mv\text{'}}{q}$. Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:

$\epsilon ={\int }_{L}Edl=-\frac{mv\text{'}}{q}{\int }_{L}dl=-\frac{mv\text{'}}{q}L$

Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время $dt$:

$IR=-\frac{mv\text{'}}{q}L$

$dq=Idt=-\frac{mLdv}{qRdt}dt=-\frac{mLdv}{qR}$

Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:

$q=-\frac{mL}{qR}{\int }_{v_0}^{0}dv=-\frac{mL{v}_0}{qR}$

Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение $\frac{q}{m}$соответствовало отношению заряда электрона к его массе.