Колебательный контур

Возьмем для примера ситуацию, когда в колебательном контуре отсутствует источник ЭДС. В таком случае уравнение колебательного контура можно записать в следующем виде:

$\frac{d^{2}I}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}I=0$.

Решить уравнение можно, описав свободные колебания при сопротивлении, входящем в состав контура:

$I\left(t\right)=e^{-\beta t}(A\cos \omega t+B\sin \omega t)$.

Здесь может быть указан косинус вместо синуса. В обоих случаях это будет верно, поскольку обе функции имеют соответствующий сдвиг. Если $R>2\sqrt{\frac{L}{C}}$, то изменения заряда нельзя считать колебаниями. Если $\beta =0$, то колебания в цепи становятся свободными. Если же $\beta >0$ и потери энергии на сопротивление незначительны, то такие колебания будут гармоническими. 

Условие: дана схема цепи с конденсатором емкостью $С$, резистором, сопротивление которого равно $R$, и генератором тока $I\left(t\right)$, который формирует ток следующего вида:

$I \left(t\right)=0$ при $t=0$.

Рисунок $2$

Запишите функцию данного конденсатора.

Решение

Для начала запишем формулу суммарного тока в цепи, воспользовавшись первым правилом Кирхгофа.

$I=I_R+I_C$.

Здесь показателем $I_R, I_C$ обозначаются те токи, которые текут через конденсатор, преодолевая сопротивление, а $l$ – это ток, вырабатываемый генератором.

Поскольку на схеме указано параллельное соединение сопротивления и конденсатора, то запишем так:

$U_R=U_C=U$.

Далее нам необходимы будут следующие формулы:

$I_R=\frac{U}{R}, I_C=C\frac{dU}{dt}$.

Подставим это значение в нужное уравнение и получим следующее:

$C\frac{dU}{dt}+\frac{U}{R}=I\to \frac{dU}{dt}+\frac{1}{RC}(U-RI)=0$.

Примем напряжение на конденсаторе равным нулю при $t=0$ в качестве изначального условия. Тогда установившееся на нем позже напряжение будет равно:

$U\text{'}=I_{0}R$.

Решением уравнения станет запись следующего вида:

$U\left(t\right)=U\text{'}-(U\text{'}-U(0\left)\right)exp\left(-\frac{t}{RC}\right)=I_{0}R\left(1-exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)$.

Ответ: $U\left(t\right)=I_{0}R\left(1-exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)$.

Условие: дана схема электрической цепи. Сопротивление резистора на ней равно $R$, емкость конденсатора – $C$. Также в ней есть генератор постоянного напряжения. Сформулируйте зависимость напряжения на конденсаторе от времени $\left(U\right(t\left)\right)$ после замыкания ключа при условии, что конденсатор не заряжен изначально.

Рисунок $3$

Решение

Зная второе правило Кирхгофа, мы можем записать следующее:

$U_C+U_R=\epsilon$.

Здесь показатели $U_C, U_R$ выражают напряжение на сопротивлении и конденсаторе.

Также нам известно, что:

$U_R=R{I}_R, I_C=C\frac{d{U}_C}{dt}$.

На рисунке мы видим последовательное соединение элементов цепи, значит:

$I\left(t\right)=I_R=I_C$.

Выбрав направление обхода контура и учитывая все нужные формулы, получим:

$U_C+RC\frac{d{U}_C}{dt}=\epsilon \to \frac{d{U}_C}{dt}+\frac{1}{RC}(U_C-\epsilon )$.

Вспомним начальные условия:

$U_C\left(0\right)=0$.

Следовательно, решением данного уравнения является функция $U_C\left(t\right)=\epsilon \left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$.

Ответ: $U_C\left(t\right)=\epsilon \left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$.