Колебательный контур

Определение 1

При особом соотношении элементов в контуре могут возникать колебания. Тогда такая система получает название колебательного контура.

Определение 2

Если системе в начальный момент времени сообщили определенное количество энергии, то она начинает совершать собственные колебания.

Определение 3

Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они являются гармоническими.

Пример 1

Возьмем для примера ситуацию, когда в колебательном контуре отсутствует источник ЭДС. В таком случае уравнение колебательного контура можно записать в следующем виде:

$\frac{d^{2} I}{d t^{2}} + ω_{0}^{2} I = 0$ .

Решить уравнение можно, описав свободные колебания при сопротивлении, входящем в состав контура:

$I (t) = e^{- β t} (A \cos ω t + B \sin ω t)$ .

Здесь может быть указан косинус вместо синуса. В обоих случаях это будет верно, поскольку обе функции имеют соответствующий сдвиг. Если $R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ , то изменения заряда нельзя считать колебаниями. Если $β = 0$ , то колебания в цепи становятся свободными. Если же $β > 0$ и потери энергии на сопротивление незначительны, то такие колебания будут гармоническими.

Определение 4

Заряд конденсатора, изменения которого нельзя считать колебаниями, называется апериодическим.

Пример 2

Условие: дана схема цепи с конденсатором емкостью $С$ , резистором, сопротивление которого равно $R$ , и генератором тока $I (t)$ , который формирует ток следующего вида:

$I (t) = 0$ при $t = 0$ .

Решение задач с колебательным контуром

Рисунок $2$

Запишите функцию данного конденсатора.

Решение

Для начала запишем формулу суммарного тока в цепи, воспользовавшись первым правилом Кирхгофа.

$I = I_{R} + I_{C}$ .

Здесь показателем $I_{R}, I_{C}$ обозначаются те токи, которые текут через конденсатор, преодолевая сопротивление, а $l$ – это ток, вырабатываемый генератором.

Поскольку на схеме указано параллельное соединение сопротивления и конденсатора, то запишем так:

$U_{R} = U_{C} = U$ .

Далее нам необходимы будут следующие формулы:

$I_{R} = \frac{U}{R}, I_{C} = C \frac{d U}{d t}$ .

Подставим это значение в нужное уравнение и получим следующее:

$C \frac{d U}{d t} + \frac{U}{R} = I \to \frac{d U}{d t} + \frac{1}{R C} (U - R I) = 0$ .

Примем напряжение на конденсаторе равным нулю при $t = 0$ в качестве изначального условия. Тогда установившееся на нем позже напряжение будет равно:

$U' = I_{0} R$ .

Решением уравнения станет запись следующего вида:

$U (t) = U' - (U' - U (0)) e x p (- \frac{t}{R C}) = I_{0} R (1 - e x p (- \frac{t}{R C}))$ .

Ответ: $U (t) = I_{0} R (1 - e x p (- \frac{t}{R C}))$ .

Пример 3

Условие: дана схема электрической цепи. Сопротивление резистора на ней равно $R$ , емкость конденсатора – $C$ . Также в ней есть генератор постоянного напряжения. Сформулируйте зависимость напряжения на конденсаторе от времени $(U (t))$ после замыкания ключа при условии, что конденсатор не заряжен изначально.

Решение задач с колебательным контуром

Рисунок $3$

Решение

Зная второе правило Кирхгофа, мы можем записать следующее:

$U_{C} + U_{R} = ε$ .

Здесь показатели $U_{C}, U_{R}$ выражают напряжение на сопротивлении и конденсаторе.

Также нам известно, что:

$U_{R} = R I_{R}, I_{C} = C \frac{d U_{C}}{d t}$ .

На рисунке мы видим последовательное соединение элементов цепи, значит:

$I (t) = I_{R} = I_{C}$ .

Выбрав направление обхода контура и учитывая все нужные формулы, получим:

$U_{C} + R C \frac{d U_{C}}{d t} = ε \to \frac{d U_{C}}{d t} + \frac{1}{R C} (U_{C} - ε)$ .

Вспомним начальные условия:

$U_{C} (0) = 0$ .

Следовательно, решением данного уравнения является функция $U_{C} (t) = ε (1 - e^{- \frac{t}{R C}})$ .

Ответ: $U_{C} (t) = ε (1 - e^{- \frac{t}{R C}})$ .

Собственные колебания контура

Решение задач с колебательным контуром