Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания $β$ . Применив второй закон Ньютона, получим:

$m a = - k x - y v, \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{r}{m} \frac{d x}{d t} + \frac{k}{m} x = 0, ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}, β = \frac{r}{2 m} .$

Из записи видно, что $β$ действительно является характеристикой контура. Реже вместо $β$ применяют декремент затухания $δ$ ,

Значение $a (t)$ является амплитудой заряда, силы тока и так далее, $δ$ равняется количеству колебаний, а $N_{e}$ - период времени уменьшения амплитуды в $e$ раз.

Для $R L C$ контура применима формула с $ω$ частотой.

При небольшой $(δ ≪ 1)$ говорят, что $β ≪ ω_{0} (ω_{0} = \sqrt{\frac{1}{L C}})$ - собственная частота, отсюда $ω \approx ω_{0}$ .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью $Q$ :

$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{ω_{0} L}{R}$ , где $R, L$ и $C$ - сопротивление, индуктивность, емкость, а $ω_{0}$ - частота резонанса. Выражение $\sqrt{\frac{L}{C}}$ называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

$Q = R \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{R}{ω_{0} L}$ .

$R$ является входным сопротивлением параллельного контура.

Определение 2

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

$Q = \frac{ω_{0} W}{P_{d}} = \frac{2 π f_{0} W}{P_{d}}$ , называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок $1$ . Изменение заряда $q$ на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

$q (t) = q_{0} e^{(- β t)} \cos (ω t + a'_{0}) = q_{0} e^{(- β t)} \cos (ω t)$ .

Если $t = 0$ , то заряд конденсатора становится равным $q_{0}$ , и ток в цепи отсутствует.

Если $R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое $R_{k}$ .

$r_{к р} = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ .

Функция изображается аналогично рисунку $2$ .

Уравнения затухающих колебаний

Рисунок $2$

Пример 1

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре $W (t)$ при $W (t = 0) = W_{0}$ с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре $β$ , а собственную частоту - $ω_{0}$ .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в $R L C$ - контуре:

$q (t) = q_{0} e^{(- β t)} \cos (ω t + a'_{0}) = q_{0} e^{(- β t)} \cos (ω t)$ .

Предположим, что при $t = 0, a'_{0} = 0$ . Тогда применим выражение

$I = \frac{d q}{d t}$ .

Для нахождения $I (t)$ :

$I (t) = - ω_{0} q_{0} e^{(- 2 β t)} \sin (ω t + α)$ , где $t g α = \frac{β}{ω}$ .

Очевидно, что электрическая энергия $W_{q}$ запишется как:

$W_{q} = \frac{q^{2}}{2 C} = \frac{q_{0}^{2}}{2 C} e^{(- 2 β t)} \cos^{2} (ω t) = W_{0} e^{(- 2 β t)} \cos^{2} (ω t)$ .

Тогда значение магнитной энергии контура $W_{m}$ равняется:

$W_{m} = \frac{L}{2} ω_{0}^{2} q_{0}^{2} e^{(- 2 β t)} \sin^{2} (ω t + a) = W_{0} e^{(- 2 β t)} \sin^{2} (ω t + a)$ .

Запись полной энергии будет иметь вид:

$W = W_{q} + W_{m} = W_{0} e^{(- 2 β t)} (\cos^{2} (ω t) + \sin^{2} (ω t + a)) = = W_{0} e^{(- 2 β t)} (1 + \frac{β}{ω_{0}} \sin (2 ω t + α)) .$

Где $\sin α = \frac{β}{ω_{0}}$ .

Ответ: $W (t) = W_{0} e^{(- 2 β t)} (1 + \frac{β}{ω_{0}} \sin (2 ω t + a))$ .

Уравнения затухающих колебаний — Пример 2