Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Содержание:
  1. Характеристики затухающих колебаний
  2. Уравнения затухающих колебаний
Определение 1

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением RR, с емкостью конденсатора CC, с катушкой индуктивности LL, изображенный на рисунке 11. Колебания, происходящие в нем, - затухающие.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Рисунок 11

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания ββ. Применив второй закон Ньютона, получим:

ma=-kx-yv,d2xdt2+rmdxdt+kmx=0,ω20=km,β=r2m.

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ,

Значение a (t) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а Ne - период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для RLC контура применима формула с ω частотой.

При небольшой (δ1) говорят, что βω0 (ω0=1LC) - собственная частота, отсюда ωω0.

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q=1RLC=ω0LR, где R, L и C - сопротивление, индуктивность, емкость, а ω0- частота резонанса. Выражение LC называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q=RLC=Rω0L.

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Определение 2

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q=ω0WPd=2πf0WPd, называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1. Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q(t)=q0e(-βt)cos(ωt+a'0)=q0e(-βt)cos(ωt).

Если t=0, то заряд конденсатора становится равным q0, и ток в цепи отсутствует.

Если R>2LC изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое Rk.

rкр=2LC.

Функция изображается аналогично рисунку 2.

Уравнения затухающих колебаний

Рисунок 2

Пример 1

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W (t) при W (t=0)=W0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β, а собственную частоту - ω0.

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в RLC - контуре:

q(t)=q0e(-βt)cos(ωt+a'0)=q0e(-βt)cos(ωt).

Предположим, что при t=0, a'0=0. Тогда применим выражение

I=dqdt.

Для нахождения I(t):

I(t)=-ω0q0e(-2βt)sin(ωt+α), где tg α=βω.

Очевидно, что электрическая энергия Wq запишется как:

Wq=q22C=q202Ce(-2βt)cos2(ωt)=W0e(-2βt)cos2(ωt).

Тогда значение магнитной энергии контура Wm равняется:

Wm=L2ω20q20e(-2βt)sin2(ωt+a)=W0e(-2βt)sin2(ωt+a).

Запись полной энергии будет иметь вид:

W=Wq+Wm=W0e(-2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+a))==W0e(-2βt)(1+βω0sin(2ωt+α)).

Где sin α=βω0.

Ответ: W (t)=W0e(-2βt)(1+βω0sin (2ωt+a)).

Пример 2

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W (t), при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

βω01.

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W (t)=W0e(-2βt)(1+βω0sin (2ωt+a)), предварительно преобразовав до W (t)=W0e(-2βt).

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия βω01, sin (2ωt+a)1, что означает βω0sin (2ωt+a)1.

Уравнения затухающих колебаний

Рисунок 3

Ответ: W (t)=W0e(-2βt). Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по физике
  • Физика

    Механические волны акустические волны Продольные и поперечные волны Фронт волны луч Уравнение плоской волны Волновой вектор Вектор УмоваПойнтинга Принцип суперпозиции волн Когерентность волн Стоячие волны

    • Вид работы:

      Доклад

    • Выполнена:

      26 января 2024

    • Стоимость:

      800 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    физика в футболе

    • Вид работы:

      Школьный проект

    • Выполнена:

      24 января 2024

    • Стоимость:

      2 900 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Давление на дне океана

    • Вид работы:

      Доклад

    • Выполнена:

      20 января 2024

    • Стоимость:

      1 400 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Источники искусственного освещения

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      20 января 2024

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    подробное решение задач

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      19 января 2024

    • Стоимость:

      1 200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Организация и планирование эксперемента

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      19 января 2024

    • Стоимость:

      1 200 руб.

    Заказать такую же работу