Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Затухающие колебания в контуре и их уравнение
- 20 июля 2023
- 5 минут
- 3 288
Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением RR, с емкостью конденсатора CC, с катушкой индуктивности LL, изображенный на рисунке 11. Колебания, происходящие в нем, - затухающие.
Рисунок 11
Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.
Характеристики затухающих колебаний
Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания ββ. Применив второй закон Ньютона, получим:
ma=-kx-yv,d2xdt2+rmdxdt+kmx=0,ω20=km,β=r2m.
Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ,
Значение a (t) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а Ne - период времени уменьшения амплитуды в e раз.
Для RLC контура применима формула с ω частотой.
При небольшой (δ≪1) говорят, что β≪ω0 (ω0=√1LC) - собственная частота, отсюда ω≈ω0.
При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :
Q=1R√LC=ω0LR, где R, L и C - сопротивление, индуктивность, емкость, а ω0- частота резонанса. Выражение √LC называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:
Q=R√LC=Rω0L.
R является входным сопротивлением параллельного контура.
Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:
Q=ω0WPd=2πf0WPd, называемое общей формулой.
Уравнения затухающих колебаний
Рассмотрим рисунок 1. Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:
q(t)=q0e(-βt)cos(ωt+a'0)=q0e(-βt)cos(ωt).
Если t=0, то заряд конденсатора становится равным q0, и ток в цепи отсутствует.
Если R>2√LC изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.
Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое Rk.
rкр=2√LC.
Функция изображается аналогично рисунку 2.
Рисунок 2
Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W (t) при W (t=0)=W0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β, а собственную частоту - ω0.
Решение
Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в RLC - контуре:
q(t)=q0e(-βt)cos(ωt+a'0)=q0e(-βt)cos(ωt).
Предположим, что при t=0, a'0=0. Тогда применим выражение
I=dqdt.
Для нахождения I(t):
I(t)=-ω0q0e(-2βt)sin(ωt+α), где tg α=βω.
Очевидно, что электрическая энергия Wq запишется как:
Wq=q22C=q202Ce(-2βt)cos2(ωt)=W0e(-2βt)cos2(ωt).
Тогда значение магнитной энергии контура Wm равняется:
Wm=L2ω20q20e(-2βt)sin2(ωt+a)=W0e(-2βt)sin2(ωt+a).
Запись полной энергии будет иметь вид:
W=Wq+Wm=W0e(-2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+a))==W0e(-2βt)(1+βω0sin(2ωt+α)).
Где sin α=βω0.
Ответ: W (t)=W0e(-2βt)(1+βω0sin (2ωt+a)).
Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W (t), при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.
Решение
Если колебания в контуре затухают медленно, то:
βω0≪1.
Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из
W (t)=W0e(-2βt)(1+βω0sin (2ωt+a)), предварительно преобразовав до W (t)=W0e(-2βt).
Такое упрощение возможно по причине выполнения условия βω0≪1, sin (2ωt+a)≤1, что означает βω0sin (2ωt+a)≪1.
Рисунок 3
Ответ: W (t)=W0e(-2βt). Энергия в контуре убывает по экспоненте.
Сохранить статью удобным способом