Движение по окружности

Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение $∆\phi$ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах. 

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело. 

$∆l=R∆\phi$

Если угол поворота мал, то $∆l\approx ∆s$.

Проиллюстрируем сказанное:

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости $\omega$, то есть скорости изменения угла поворота. 

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

$\omega =\frac{v}{R}$

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости $v$ и $\omega$ остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру. 

$a_n=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}, ∆t\to 0$

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

$a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор $\overrightarrow{v}$ за малый промежуток времени $∆t$. $∆\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_B}-\overrightarrow{v_A}$.

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

$\overrightarrow{a}=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}, ∆t\to 0$

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что $\frac{\left|OA\right|}{\left|AB\right|}=\frac{{\displaystyle \left|BC\right|}}{{\displaystyle \left|CD\right|}}$.

Если значение угла $∆\phi$ мало, расстояние $\left|AB\right|=∆s\approx v·∆t$. Принимая во внимание, что $\left|OA\right|=R$ и $\left|CD\right|=∆v$ для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

$\frac{R}{v∆t}=\frac{{\displaystyle v}}{{\displaystyle ∆v}}$ или $\frac{∆v}{∆t}=\frac{{\displaystyle v^2}}{{\displaystyle R}}$

При $∆\phi \to 0$, направление вектора $∆\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_B}-\overrightarrow{v_A}$ приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что $∆t\to 0$, получаем:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_n}=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}; ∆t\to 0; \overrightarrow{a_n}=\frac{v^2}{R}$.

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности. 

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

$\overrightarrow{a_n}=-{\omega }^2\overrightarrow{R}$.

Здесь $\overrightarrow{R}$ - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов - нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

$a_{\tau }=\frac{∆v_{\tau }}{∆t}; ∆t\to 0$

Здесь $∆v_{\tau }=v_2-v_1$  - изменение модуля скорости за промежуток $∆t$

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие $v_x$ и $v_y$.

Если движение равномерное, величины $v_x$ и $v_y$ а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом $T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\omega }$