Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Мгновенная и средняя скорость
- 13 ноября 2023
- 4 минуты
- 14 875
Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.
Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.
Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения openυ>=∆r∆t; openυ>↑↑∆r.
Рисунок 1. Средняя скорость сонаправлена перемещению
Модуль средней скорости по пути равняется openυ>=S∆t.
Мгновенная скорость точки. Формулы
Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.
Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость openυ> при стремлении промежутка времени ∆t к 0:
υ=lim∆t∆r∆t=drdt=˙r.
Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории ds.
Рисунок 2. Вектор мгновенной скорости υ
Имеющееся выражение υ=lim∆t∆r∆t=drdt=˙r в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:
openυx=dxdt=˙xυy=dydt=˙yυz=dzdt=˙z.
Перемещение и мгновенная скорость
Запись модуля вектора υ примет вид:
υ=openυ|=√υ2x+υ2y+υ2z=√x2+y2+z2.
Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r=r(q1, q2, q3), тогда значение скорости запишется как:
υ=drdt=∑3i=1∂r∂qi∂qi∂r=∑3i=1∂r∂qi˙qi.
Рисунок 3. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат
При сферических координатах предположим, что q1=r; q2=φ; q3=θ, то получим υ, представленную в такой форме:
υ=υrer+υφeφ+υθφθ, где υr=˙r; υφ=r˙φsin θ; υθ=r˙θ; ˙r=drdt; ˙φ=dφdt; ˙θ=dθdt; υ=r√1+φ2sin2θ+θ2.
Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением dr=υ(t)dt
Дан закон прямолинейного движения точки x(t)=0,15t2-2t+8. Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.
Решение
Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:
υ(t)=˙x(t)=0.3t-2; υ(10)=0.3×10-2=1 м/с.
Ответ: 1 м/с.
Движение материальной точки задается уравнением x=4t-0,05t2. Вычислить момент времени tост, когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость openυ>.
Решение
Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:
υ(t)=˙x(t)=4-0,1t.
4-0,1t=0;tост=40 с;υ0=υ(0)=4;openυ>=∆υ∆t=0-440-0=0,1 м/с.
Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0,1 м/с.
Сохранить статью удобным способом