Мгновенная и средняя скорость

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Модуль средней скорости по пути равняется .

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Направление вектора $\upsilon$ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение $dr$ совпадает с бесконечно малым элементом траектории $ds$.

Рисунок $2$. Вектор мгновенной скорости $\upsilon$

Имеющееся выражение $\upsilon =li{m}_{∆t}\frac{∆r}{∆t}=\frac{dr}{dt}=\dot{r}$ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\upsilon }_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x}\\ {\upsilon }_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y} \\ {\upsilon }_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z}\end{array}\right. \end{gathered}$$.

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора $\upsilon$ примет вид:

$\upsilon =\left|\upsilon \right|=\sqrt{{\upsilon }_x^2+{\upsilon }_y^2+{\upsilon }_z^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор $r$ является функцией криволинейных координат $r=r\left(q_1, q_2, q_3\right)$, тогда значение скорости запишется как:

$\upsilon =\frac{dr}{dt}=\sum _{i=1}^3\frac{\partial r}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial r}=\sum _{i=1}^3\frac{\partial r}{\partial q_i}{\dot{q}}_i$.

Рисунок $3$. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что $q_1=r; q_2=\phi ; q_3=\theta$, то получим $\upsilon$, представленную в такой форме:

$\upsilon ={\upsilon }_r{e}_r+{\upsilon }_{\phi }{e}_{\phi }+{\upsilon }_{\theta }{\phi }_{\theta }$, где ${\upsilon }_r=\dot{r}; {\upsilon }_{\phi }=r\dot{\phi }\sin \theta ; {\upsilon }_{\theta }=r\dot{\theta }; \dot{r}=\frac{dr}{dt}; \dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}; \dot{\theta }=\frac{d\theta }{dt}; \upsilon =r\sqrt{1+{\phi }^2{\sin }^2\theta +{\theta }^2}$.