Основные понятия кинематики

Как мы сказали, механическое движение тела относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел может быть разным.

В $СИ$ единицей длины выступает метр, а единицей времени – секунда.

У каждого тела есть определенные размеры. Разные части тела расположены в разных пространственных местах. Но в большинстве задач механики не нужно указывать положение отдельных частей тела. Если размеры тела маленькие в сравнении с расстояниями до остальных тел, тогда заданное тело считается его материальной точкой. Таким образом поступают при изучении перемещения планет вокруг Солнца.

При поступательном движении тела его также рассматривают в качестве материальной точки.

Материальная точка в механике

Термин “материальная точка” имеет важное значение в механике.

Местонахождение материальной точки в пространстве в любой временной отрезок (закон движения) определяют, используя зависимость координат от времени $x=x\left(t\right), y=y\left(t\right), z=z\left(t\right)$ или зависимость от времени радиус-вектора $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right)$, проведенного от начала координат до заданной точки. Наглядно это представлено на рисунке $1.1.1.$

Рисунок $1.1.1.$ Определение положения точки при помощи координат $x=x \left(t\right), y=y \left(t\right)$ и $z=z \left(t\right)$ и радиус-вектора $\overrightarrow{r}\left(t\right), \overrightarrow{r_0}$ – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Пройденный путь $l$ равняется длине дуги траектории, преодоленной телом за определенное время $t$. Путь является скалярной величиной.

Если движение тела рассматривается в течение довольно короткого отрезка времени, тогда вектор перемещения оказывается направленным по касательной к траектории в заданной точке, а его длина равняется преодоленному пути.

В случае небольшого промежутка времени $\Delta t$ преодоленный телом путь $\Delta l$ практически совпадает с модулем вектора перемещения $∆\overrightarrow{s}$. При перемещении тела по криволинейной траектории модуль вектора движения все время меньше пройденного пути (рисунок $1.1.2$).

Рисунок $1.1.2.$ Пройденный путь $l$ и вектор перемещения $∆\overrightarrow{s}$ при криволинейном движении тела.
$a$ и $b$ – это начальная и конечная точки пути.

Определение средней и мгновенной скорости движения тела. Основные формулы кинематики

Для описания движения в физике введено понятие средней скорости: $\overrightarrow{\upsilon }=\frac{∆\overrightarrow{s}}{∆t}=\frac{∆\overrightarrow{r}}{∆t}$.

Физиков больше интересует формула не средней, а мгновенной скорости, которая рассчитывается как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно маленьком промежутке времени $\Delta t$, то есть $\overrightarrow{\upsilon }=\frac{∆\overrightarrow{s}}{∆t}=\frac{∆\overrightarrow{r}}{∆t}; \left(∆t\to 0\right)$.

В математике данный предел называется производная и обозначается $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ или $\dot{\overrightarrow{r}}$.

Мгновенная скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в заданной точке. Отличие между средней и мгновенной скоростями демонстрирует рисунок $1.1.3.$

Рисунок $1.1.3.$ Средняя и мгновенная скорости. $∆\overrightarrow{s_1}, ∆\overrightarrow{s_2}, ∆\overrightarrow{s_3}$ – перемещения за время $∆t_1<∆t_2<∆t_3$ соответственно. При $t\to 0, {\overrightarrow{\upsilon }}_{ср}\to \overrightarrow{\upsilon }$.

При перемещении тела по криволинейной траектории скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ меняется по модулю и по направлению. Изменение вектора скорости $\overrightarrow{\upsilon }$ за какой-то маленький промежуток времени $\Delta t$ задается при помощи вектора $∆\overrightarrow{\upsilon }$ (рисунок $1.1.4$).

Вектор изменения скорости $∆\overrightarrow{\upsilon }=\overrightarrow{{\upsilon }_2}-\overrightarrow{{\upsilon }_1}$ за короткий промежуток времени $\Delta t$ раскладывается на $2$ составляющие: $∆\overrightarrow{{\upsilon }_r}$, которая направлена вдоль вектора $\overrightarrow{\upsilon }$ (касательная составляющая) и $∆\overrightarrow{{\upsilon }_n}$, которая направлена перпендикулярно вектору $\overrightarrow{\upsilon }$ (нормальная составляющая).

Рисунок $1.1.4.$ Изменение вектора скорости по величине и по направлению. $∆\overrightarrow{\upsilon }=∆{\overrightarrow{\upsilon }}_r+∆{\overrightarrow{\upsilon }}_n$ – изменение вектора скорости за промежуток времени $\Delta t$.

Направление вектора ускорения $\overrightarrow{a}$, при криволинейном движении, не совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow{\upsilon }$. Составляющие вектора ускорения $\overrightarrow{a}$ – это касательные (тангенциальные) ${\overrightarrow{a}}_{\tau }$ и нормальные ${\overrightarrow{a}}_n$ ускорения (рисунок $1.1.5$).

 Рисунок $1.1.5.$ Касательное и нормальное ускорения. 

Касательное ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела по модулю: $a_{\tau }=\frac{∆\upsilon }{∆t}; \left(∆t\to 0\right)$.

Вектор ${\overrightarrow{a}}_{\tau }$ направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение показывает, как быстро скорость тела меняется по направлению.

Итак, основные физические величины в кинематике материальной точки – это пройденный путь $l$, перемещение $\overrightarrow{s}$, скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ и ускорение $\overrightarrow{a}$.

Путь $l$ – скалярная величина.

Перемещение $\overrightarrow{s}$, скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ и ускорение $\overrightarrow{a}$ – векторные величины.

Для того чтобы задать какую-нибудь векторную величину, необходимо задать ее модуль и определить направление. Вектора подчиняются математическим правилам: их можно проектировать на координатные оси, складывать, вычитать и др.