Система отсчета

Определение 1

Система отсчета – это совокупность тела отсчета, со связанной с ним системой координат и прибором для измерения времени.

Что такое система отсчета. Афинная и декартовая системы координат

Если рассматривать все системы отсчета относительно кинематики – они аналогичные. В кинематике не указываются преимущества одной системы отсчета при сравнении с другой. Для удобства решения выбирается наиболее приемлемая система.

Чтобы описать пространство, в котором происходит движение материальной точки, система отсчета связывается с пространственной системой координат.

Определение 2

Системой пространственных координат называют совокупность определений, которая может реализовать метод координат, то есть определение положения точки или тела с помощью чисел или символов.

Определение 3

Числа, способные указать положение выбранной точки в трехмерном пространстве, называются координатами этой точки.

Определение 4

Аффинная система координат – это три линейно независимых вектора (координатных осей), выходящие из одной точки, то есть из начала отсчета.

Что такое система отсчета. Афинная и декартовая системы координат

Рисунок $1$ $1$ . Положение точки в афинной системе координат

Данный случай указывает на то, что определение положения материальной точки $М$ $М$ в пространстве происходит при помощи радиус-вектора $\vec{r}$ $\vec{r}$ , проведенного через начало координат в заданную точку, движение может быть представлено в виде векторной суммы независимых перемещений вдоль трех пространственных осей выбранной системы координат.

Чаще используется декартова система координат, образованная взаимно перпендикулярными осями $x, y, z$ $x, y, z$ . Она применима для описания прямолинейного движения и движения по незамкнутым или нецикличным кривым. Представляет из себя наглядную геометрическую интерпретацию с несложными вычислениями.

Что такое система отсчета. Афинная и декартовая системы координат

Рисунок $2$ $2$ . Положение точки в декартовой системе координат

Определение 5

Отложенные от начала координат и вдоль осей единичные векторы называют ортами $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ .

Расположение точки $М$ $М$ находится в зависимости от значения радиус-вектора $\vec{r}$ $\vec{r}$ , соединяющего начало координат $О$ $О$ с заданной точкой $М$ $М$ :

$\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ ,

$x, y, z$ $x, y, z$ являются декартовыми координатами точки $М$ $М$ или проекциями радиус-вектора на соответствующие оси координат, первая производная которого дает значение мгновенной скорости точки. При известных значениях изменений во времени координат или радиус-вектора, то есть определение $x = x (t); y = y (t)$ $x = x (t); y = y (t)$ , задается характер движения тела в пространстве.

Определение 6

Чтобы однозначно определить положение точки $М$ $М$ в пространстве, то предполагают наличие зависимости радиус-вектора $\vec{r}$ $\vec{r}$ от параметра $t$ $t$ (времени) таким образом, что каждому значению параметра $t$ $t$ соответствует одно значение функции:

$\vec{r} = \vec{r} (t) = x (t) \vec{i} + y (t) \vec{j} + z (t) \vec{k}$ $\vec{r} = \vec{r} (t) = x (t) \vec{i} + y (t) \vec{j} + z (t) \vec{k}$ .

Данное равенство получило название кинематического уравнения движения материальной точки $М$ $М$ в векторной форме.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Чтобы описать криволинейное и аффинное движение, применяют криволинейные системы координат, которые упрощают форму записи законов движения тел для облегчения вычисления. Чаще всего используют цилиндрические и сферические системы координат.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами может быть задана при помощи формул:

$x = ρ \cos φ; y = ρ \sin φ; z = z; ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}; t g φ = \frac{y}{x}$ $x = ρ \cos φ; y = ρ \sin φ; z = z; ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}; t g φ = \frac{y}{x}$ .

Определение 8

Сферическая система координат характеризуется тройкой скалярных величин, которые определяют положение точки в пространстве, состоящие из длины ее радиус-вектора $ρ$ $ρ$ и двух углов: $φ$ $φ$ – угла, образованного проекцией радиус-вектора точки $М$ $М$ на плоскость $O X Y$ $O X Y$ с положительным направлением $О Х$ $О Х$ , $θ$ $θ$ – угла, располагаемого между радиус-вектором точки $М$ $М$ и осью $O Z$ $O Z$ .

Необходимо рассмотреть сферическую систему координат $O ρ θ φ$ $O ρ θ φ$ , совмещенную с декартовой $O x y z$ $O x y z$ , причем с имеющимися пределами изменения сферических координат: $0 \leq φ \leq 2 π, 0 \leq ρ \leq \infty$ $0 \leq φ \leq 2 π, 0 \leq ρ \leq \infty$ .

Рисунок $4$ $4$ показывает, что можно вывести формулы, связывающие сферические и декартовые координаты:

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Рисунок $4$ $4$ . Сферические координаты точки $М$ $М$

$\{\begin{cases} x = ρ \cos φ \sin θ, \\ y = ρ \sin φ \sin θ, z = ρ \cos θ . \end{cases}$ $\{\begin{cases} x = ρ \cos φ \sin θ, \\ y = ρ \sin φ \sin θ, z = ρ \cos θ . \end{cases}$

Имеются другие системы криволинейных координат, с помощью которых возможно нахождение координат заданной точки: параболические, гиперболические, эллиптические и другие.

Система отсчета выбирается индивидуально относительно каждого случая в отдельности, учитывается особенность движения тела, с помощью которой определяется наиболее простой закон движения заданного тела или точки.