Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Система отсчета
- 8 января 2024
- 6 минут
- 3 011
Система отсчета – это совокупность тела отсчета, со связанной с ним системой координат и прибором для измерения времени.
Что такое система отсчета. Афинная и декартовая системы координат
Если рассматривать все системы отсчета относительно кинематики – они аналогичные. В кинематике не указываются преимущества одной системы отсчета при сравнении с другой. Для удобства решения выбирается наиболее приемлемая система.
Чтобы описать пространство, в котором происходит движение материальной точки, система отсчета связывается с пространственной системой координат.
Системой пространственных координат называют совокупность определений, которая может реализовать метод координат, то есть определение положения точки или тела с помощью чисел или символов.
Числа, способные указать положение выбранной точки в трехмерном пространстве, называются координатами этой точки.
Аффинная система координат – это три линейно независимых вектора (координатных осей), выходящие из одной точки, то есть из начала отсчета.
Рисунок 11. Положение точки в афинной системе координат
Данный случай указывает на то, что определение положения материальной точки ММ в пространстве происходит при помощи радиус-вектора →r→r, проведенного через начало координат в заданную точку, движение может быть представлено в виде векторной суммы независимых перемещений вдоль трех пространственных осей выбранной системы координат.
Чаще используется декартова система координат, образованная взаимно перпендикулярными осями x, y, zx, y, z. Она применима для описания прямолинейного движения и движения по незамкнутым или нецикличным кривым. Представляет из себя наглядную геометрическую интерпретацию с несложными вычислениями.
Рисунок 22. Положение точки в декартовой системе координат
Отложенные от начала координат и вдоль осей единичные векторы называют ортами →i; →j; →k→i; →j; →k.
Расположение точки ММ находится в зависимости от значения радиус-вектора →r→r, соединяющего начало координат ОО с заданной точкой ММ:
→r=x→i+y→j+z→k→r=x→i+y→j+z→k,
x, y, zx, y, z являются декартовыми координатами точки ММ или проекциями радиус-вектора на соответствующие оси координат, первая производная которого дает значение мгновенной скорости точки. При известных значениях изменений во времени координат или радиус-вектора, то есть определение x=x(t); y=y(t)x=x(t); y=y(t), задается характер движения тела в пространстве.
Чтобы однозначно определить положение точки ММ в пространстве, то предполагают наличие зависимости радиус-вектора →r→r от параметра tt (времени) таким образом, что каждому значению параметра tt соответствует одно значение функции:
→r=→r(t)=x(t)→i+y(t)→j+z(t)→k→r=→r(t)=x(t)→i+y(t)→j+z(t)→k.
Данное равенство получило название кинематического уравнения движения материальной точки ММ в векторной форме.
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Чтобы описать криволинейное и аффинное движение, применяют криволинейные системы координат, которые упрощают форму записи законов движения тел для облегчения вычисления. Чаще всего используют цилиндрические и сферические системы координат.
Представление цилиндрической системы координат включает в себя трехмерную ось координат, которая является обобщением полярной на трехмерное пространство добавлением третьей координаты, задающей смещение произвольной точки ММ вдоль оси OZOZ относительно координатной плоскости OXYOXY.
Положение точки ММ может быть определено скалярами ρ, φρ, φ и zz, где ρρ – характеризует расстояние от точки ММ к оси OZOZ, φφ – является углом, образованным проекцией радиус-вектора точки ММ на плоскость OXYOXY с положительным направлением ОХОХ, zz – проекцией точки ММ на ось OZOZ.
Рисунок 33. Цилиндрические координаты точки ММ
Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами может быть задана при помощи формул:
x=ρcos φ; y=ρsin φ; z=z; ρ=√x2+y2; tg φ=yxx=ρcos φ; y=ρsin φ; z=z; ρ=√x2+y2; tg φ=yx.
Сферическая система координат характеризуется тройкой скалярных величин, которые определяют положение точки в пространстве, состоящие из длины ее радиус-вектора ρρ и двух углов: φφ – угла, образованного проекцией радиус-вектора точки ММ на плоскость OXYOXY с положительным направлением ОХОХ, θθ – угла, располагаемого между радиус-вектором точки ММ и осью OZOZ.
Необходимо рассмотреть сферическую систему координат OρθφOρθφ, совмещенную с декартовой OxyzOxyz, причем с имеющимися пределами изменения сферических координат: 0≤φ≤2π, 0≤ρ≤∞0≤φ≤2π, 0≤ρ≤∞.
Рисунок 44 показывает, что можно вывести формулы, связывающие сферические и декартовые координаты:
Рисунок 44. Сферические координаты точки ММ
openx=ρcosφsinθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosθ.
Имеются другие системы криволинейных координат, с помощью которых возможно нахождение координат заданной точки: параболические, гиперболические, эллиптические и другие.
Система отсчета выбирается индивидуально относительно каждого случая в отдельности, учитывается особенность движения тела, с помощью которой определяется наиболее простой закон движения заданного тела или точки.
Сохранить статью удобным способом