Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: $\Delta t=t_1-t$, а изменение угловой скорости составит $\Delta \omega ={\omega }_1-\omega$, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: . Перейдем к пределу, когда $\Delta t>0$, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: $\epsilon =li{m}_{∆t\to 0}\frac{∆\omega }{∆t}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\phi }{dt}=\dot{\omega }=\ddot{\phi }$.

Размерность углового ускорения $\frac{1}{T^2}$ (т.е. $\frac{1}{врем{я}^2}$). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается $рад/{с}^2$ или иначе: $\frac{1}{{с}^2}\left({с}^{-2}\right)$.

В общем, довольно просто заметить, что, если $\omega$ и $\epsilon$ имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок $1$. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор $\overrightarrow{\epsilon }=\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}$, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения $\overrightarrow{\epsilon }$ и $\overrightarrow{\omega }$ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка $1$) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка $1$).

Закон равнопеременного вращения

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени $t_0$ угол вращения равен $\varphi ={\varphi }_0$; угловая скорость - $\omega ={\omega }_0$ (т.е. ${\omega }_0$ является начальной угловой скоростью).

Выражение $\epsilon =\frac{d\omega }{dt}=\dot{\omega }=\ddot{\phi }$ дает нам возможность сделать запись: $d\omega =\epsilon dt$. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ${\omega }_0$ до $\omega$, а правую – в пределах от $0$ до $t$, тогда:

$\omega ={\omega }_0+\epsilon t, d\phi ={\omega }_{0}dt+\epsilon tdt$.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом $R$, тогда: ${\alpha }_r=\epsilon R$. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: $a_n={\omega }^{2}R$. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: $a=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=R\sqrt{{\epsilon }^2+{\omega }^4}$ Для равнопеременного движения: $\omega =\epsilon t; a_n={\omega }^{2}R={\epsilon }^2{t}^{2}R$ и $a=R\sqrt{{\epsilon }^2+{\epsilon }^4{t}^4}=R\epsilon \sqrt{1+{\epsilon }^2{t}^4}$.

Практические примеры