Угловое ускорение

9 января 2024
5 минут
5 603

Преподаватель физики

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: $Δ t = t_{1} - t$ , а изменение угловой скорости составит $Δ ω = ω_{1} - ω$ , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: $<ε> = \frac{∆ ω}{∆ t} = ε$ . Перейдем к пределу, когда $Δ t > 0$ , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: $ε = l i m_{∆ t \to 0} \frac{∆ ω}{∆ t} = \frac{d ω}{d t} = \frac{d^{2} φ}{d t} = \dot{ω} = \ddot{φ}$ .

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения $\frac{1}{T^{2}}$ (т.е. $\frac{1}{в р е м я^{2}}$ ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается $р а д / с^{2}$ или иначе: $\frac{1}{с^{2}} (с^{- 2})$ .

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если $ω$ и $ε$ имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Основные понятия

Рисунок $1$ . Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор $\vec{ε} = \frac{d \vec{ω}}{d t}$ , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения $\vec{ε}$ и $\vec{ω}$ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка $1$ ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка $1$ ).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным $(ε = c o n s t)$ .

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени $t_{0}$ угол вращения равен $ϕ = ϕ_{0}$ ; угловая скорость - $ω = ω_{0}$ (т.е. $ω_{0}$ является начальной угловой скоростью).

Выражение $ε = \frac{d ω}{d t} = \dot{ω} = \ddot{φ}$ дает нам возможность сделать запись: $d ω = ε d t$ . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от $ω_{0}$ до $ω$ , а правую – в пределах от $0$ до $t$ , тогда:

$ω = ω_{0} + ε t, d φ = ω_{0} d t + ε t d t$ .

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: $φ = φ_{0} + ω t + \frac{ε t^{2}}{2}$ .

Вращение является равноускоренным, когда $ω$ и $ε$ имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда $ω$ и $ε$ противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом $R$ , тогда: $α_{r} = ε R$ . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: $a_{n} = ω^{2} R$ . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: $a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{n}^{2}} = R \sqrt{ε^{2} + ω^{4}}$ Для равнопеременного движения: $ω = ε t; a_{n} = ω^{2} R = ε^{2} t^{2} R$ и $a = R \sqrt{ε^{2} + ε^{4} t^{4}} = R ε \sqrt{1 + ε^{2} t^{4}}$ .

Практические примеры

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом $R$ . При этом выражение $ϕ = α t^{3}$ отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

$ω = \frac{d φ}{d t} = 3 α t^{2}; ε = 6 α t$ .

Полное ускорение запишем как:

$a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{n}^{2}} = R \sqrt{ε^{2} + ω^{4}} = R \sqrt{36 a^{2} t^{2} + 81 a^{4} t^{8}} = 3 a t R \sqrt{4 + 9 a^{2} t^{6}}$ .