Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Магнитная энергия контура с током
- 10 мая 2023
- 6 минут
- 2 205
Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.
Вывод формулы энергии магнитного поля
Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).
Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I. Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δAвнеш=-εиндIdt.
Применяя закон Фарадея, выводим: δAвнеш=1cIdΦ.
Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δAвнеш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии (Wm), соответственно:
dWm=IcdΦ.
Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ=LIc,
где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4), получим:
Из формулы (6) следует, что:
Формула Wm=L2(Ic)2=12c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I), который протекает по контуру с индуктивностью L.
Формула Wm=L2(Ic)2=12c может быть записана в следующем виде: Wm=1c∫∑Ii'dΦi'.
Для справедливости формул Wm=L2(Ic)2=12c и IΦ=Φ22L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.
Примеры решения задач
Задание: Сила тока в витке эквивалентна I=1 . Магнитный поток , проходящий через площадь витка составляет . Найдите энергию магнитного поля в витке.
Решение
В качестве фундамента решения задачи примем формулу: .
Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему : .
Проведем вычисления: .
Ответ: .
Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток . Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре через гальванометр проходит заряд . Полное сопротивление цепи равно . Чему равняется взаимная индуктивность витков?
Решение
Магнитная энергия витка с током может быть записана как: . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений и , получим: . Из уравнения выше выразим индуктивность: . По закону Ома для участка цепи имеем: . Соответственно: .
Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: , где силу тока найдем как:, в таком случае выражение преобразуется в формулу вида: . Приравняем правые части выражений и , на выходе получим: .
Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от до нуля, а заряд во втором от нуля до , получим: .
Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе , произведем вычисления: .
Ответ: .
Сохранить статью удобным способом