Магнитная энергия контура с током

10 мая 2023
6 минут
1 943

Преподаватель физики

Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

Вывод формулы энергии магнитного поля

Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

Пример 1

Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до $I$ . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока $Ф$ , проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: $δ A^{в н е ш} = - ε^{и н д} I d t$ .

Применяя закон Фарадея, выводим: $δ A^{в н е ш} = \frac{1}{c} I d Φ$ .

Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, $δ A^{в н е ш}$ будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии $(W_{m})$ , соответственно:

$d W_{m} = \frac{I}{c} d Φ$ .

Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции $Ф$ , проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: $Φ = \frac{L I}{c}$ ,

где $L$ представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим $(5)$ в $(4)$ , получим:

Из формулы $(6)$ следует, что:

Определение 1

Формула $W_{m} = \frac{L}{2} {(\frac{I}{c})}^{2} = \frac{1}{2 c}$ определяет энергию магнитного поля, формирующегося током $(I)$ , который протекает по контуру с индуктивностью $L$ .

Формула $W_{m} = \frac{L}{2} {(\frac{I}{c})}^{2} = \frac{1}{2 c}$ может быть записана в следующем виде: $W_{m} = \frac{1}{c} \int \sum_{} I_{i}' d Φ_{i}'$ .

Для справедливости формул $W_{m} = \frac{L}{2} {(\frac{I}{c})}^{2} = \frac{1}{2 c}$ и $I Φ = \frac{Φ^{2}}{2 L}$ незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

Примеры решения задач

Пример 2

Задание: Сила тока в витке эквивалентна $I = 1 А$ . Магнитный поток $Ф$ , проходящий через площадь витка составляет $100 м к В б$ . Найдите энергию магнитного поля в витке.

Решение

В качестве фундамента решения задачи примем формулу: $W_{m} = \frac{1}{2} I Φ$ .

Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему $С И$ : $100 м к В б = 10^{- 4} В б$ .

Проведем вычисления: $W_{m} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 10^{- 4} = 5 \cdot 10^{- 3} (Д ж)$ .

Ответ: $W_{m} = 5 \cdot 10^{- 3} (Д ж)$ .

Пример 3

Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток $I = 1 А$ . Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре $(1)$ через гальванометр проходит заряд $q = 10^{- 8} К л$ . Полное сопротивление цепи равно $R = 5 О м$ . Чему равняется взаимная индуктивность витков?

Решение

Магнитная энергия $(W_{m})$ витка с током может быть записана как: $W_{m} = \frac{L I^{2}}{2}$ . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: $W_{m}' = \frac{q U}{2}$ . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: $W_{m}' = W_{m}$ . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений $W_{m} = \frac{L I^{2}}{2}$ и $W_{m}' = \frac{q U}{2}$ , получим: $\frac{L I^{2}}{2} = \frac{q U}{2} \to L I^{2} = q U$ . Из уравнения выше выразим индуктивность: $L = \frac{q U}{I^{2}}$ . По закону Ома для участка цепи имеем: $U = I R$ . Соответственно: $L = \frac{q R}{I}$ .

Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через $ε_{2}$ ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: $ε_{2} = - L \frac{d I}{d t}$ . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: $ε_{2} = I_{2} R$ , где силу тока найдем как: $I_{2} = \frac{d q}{d t}$ , в таком случае выражение $ε_{2} = I_{2} R$ преобразуется в формулу вида: $ε_{2} = \frac{d q}{d t} R$ . Приравняем правые части выражений $ε_{2} = - L \frac{d I}{d t}$ и $ε_{2} = \frac{d q}{d t} R$ , на выходе получим: $- L \frac{d I}{d t} = \frac{d q}{d t} R \to - L d I = R d q$ .

Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от $I$ до нуля, а заряд во втором от нуля до $q$ , получим: $- L \int_{I}^{0} d I = R \int_{0}^{q} d q \to L I = R q \to L = \frac{R q}{I}$ .

Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе $С И$ , произведем вычисления: $L = \frac{10^{- 8} \cdot 5}{1} = 5 \cdot 10^{- 8} (Г н)$ .

Ответ: $L = 50 н Г н$ .