Поле элементарного тока и элементарный ток в магнитном поле

Поле элементарного тока

Ранее была получена формула для нахождения векторного потенциала магнитного поля элементарного тока:

$\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{p_m}\times \overrightarrow{r}}{r^3} \left(1\right)$, где $\overrightarrow{p_m}$ является магнитным моментом элементарного тока, $\overrightarrow{r}$ – радиус-вектором от витка с током до точки, в которой рассматривается поле.

Применив выражение $\left(1\right)$ с определением векторного магнитного потенциала $\left(2\right)$, получим:

$\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A} \left(2\right)$.

Используя операцию $rot$ для формулы $\left(1\right)$, которая определяет магнитную индукцию элементарного замкнутого тока, имеем:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_m}·\overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\} \left(3\right)$.

Элементарный ток в магнитном поле. Контур с током в однородном магнитном поле

Следует выявить характер поведения элементарного тока при его помещении во внешнее магнитное поле. Допустим, что поле однородно, то есть $\overrightarrow{B}=const$. На такой контур будет действовать сила Ампера, вычисляемая в соответствии с законом, тогда:

$\overrightarrow{F}=\oint I \left[\overrightarrow{dl}\overrightarrow{B}\right]=I\left(\oint dl\right)\times \overrightarrow{B} \left(4\right)$, где сила тока и вектор магнитной индукции были вынесены за знак интеграла по причине их постоянства. Формула содержит векторное произведение, тогда значение интеграла $\oint dl=0 \left(5\right)$.

Уравнение $\left(5\right)$ справедливо для контуров любой формы и при любом его расположении относительно направления линий поля. Следовательно, однородное магнитное поле содержит результирующую силу, равную нулю ($\overrightarrow{F}=0$, при $\overrightarrow{B}=const$).

Значение вращающего момента $\overrightarrow{M}$, создаваемого силами, приложенными к контуру относительно некоторой точки $O$, однородного магнитного поля равняется:

$\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{p_m}\overrightarrow{B}\right] \left(6\right)$, где $\overrightarrow{p_m}=I\overrightarrow{S}=IS\overrightarrow{n}$ является магнитным моментом элементарного контура, $\overrightarrow{n}$ – положительной нормалью к контуру. Тогда модуль $\overrightarrow{M}$ будет иметь вид:

$M=p_{m}B\sin a \left(7\right)$, где $a$ – угол между векторами $\overrightarrow{p_m}$ и $\overrightarrow{B}$.

При условии $\overrightarrow{p_m}\uparrow \uparrow \overrightarrow{B}$ магнитных сил, действующих на отдельные участки контура, не пытающихся повернуть или сдвинуть его, производят растягивание контура в плоскости. Случай $\overrightarrow{p_m}⇅\overrightarrow{B}$ говорит о сжатии контура с током в магнитном поле.

Для увеличения угла между векторами индукции магнитного поля и вектором магнитного момента элементарного тока на $da$ должна совершиться работа против сил магнитного поля, которая равняется:

$dA=Mda=p_{m}B\sin ada \left(8\right)$.

Работа $\left(8\right)$ выполняется на увеличении потенциальной энергии $W_{pmeh}$, которой обладает контур с током в магнитном поле:

$d{W}_{pmeh}=p_{m}B\sin a da \left(9\right)$.

После нахождения интеграла $\left(9\right)$ получаем:

$W_{pmeh}=-p_{m}B\cos a+const \left(10\right)$.

Если предположить, что в $\left(10\right)$ $const=0$, то:

$W_{pmeh}=-p_{m}B\cos a=-\overrightarrow{p_m}\overrightarrow{B} \left(11\right)$.

При параллельном ориентировании векторов $\overrightarrow{p_m}$ и $\overrightarrow{B}$ получаем минимум потенциальной энергии, иначе говоря, положение устойчивого равновесия. $W_{pmeh}$ является не полной потенциальной энергией контура с током, а только ее частью, обусловленной вращательным моментом.