Поле элементарного тока и элементарный ток в магнитном поле

Определение 1

Элементарный замкнутый ток называют линейным, который обтекает поверхность с бесконечно малыми линейными размерами.

Поле элементарного тока

Ранее была получена формула для нахождения векторного потенциала магнитного поля элементарного тока:

$\vec{A} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{\vec{p_{m}} \times \vec{r}}{r^{3}} (1)$ , где $\vec{p_{m}}$ является магнитным моментом элементарного тока, $\vec{r}$ – радиус-вектором от витка с током до точки, в которой рассматривается поле.

Применив выражение $(1)$ с определением векторного магнитного потенциала $(2)$ , получим:

$\vec{B} = r o t \vec{A} (2)$ .

Используя операцию $r o t$ для формулы $(1)$ , которая определяет магнитную индукцию элементарного замкнутого тока, имеем:

$\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} open\frac{3 (\vec{p_{m}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{m}}}{r^{3}}\} (3)$ .

Элементарный ток в магнитном поле. Контур с током в однородном магнитном поле

Следует выявить характер поведения элементарного тока при его помещении во внешнее магнитное поле. Допустим, что поле однородно, то есть $\vec{B} = c o n s t$ . На такой контур будет действовать сила Ампера, вычисляемая в соответствии с законом, тогда:

$\vec{F} = \oint I open\vec{d l} \vec{B}] = I (\oint d l) \times \vec{B} (4)$ , где сила тока и вектор магнитной индукции были вынесены за знак интеграла по причине их постоянства. Формула содержит векторное произведение, тогда значение интеграла $\oint d l = 0 (5)$ .

Уравнение $(5)$ справедливо для контуров любой формы и при любом его расположении относительно направления линий поля. Следовательно, однородное магнитное поле содержит результирующую силу, равную нулю ( $\vec{F} = 0$ , при $\vec{B} = c o n s t$ ).

Значение вращающего момента $\vec{M}$ , создаваемого силами, приложенными к контуру относительно некоторой точки $O$ , однородного магнитного поля равняется:

$\vec{M} = open\vec{p_{m}} \vec{B}] (6)$ , где $\vec{p_{m}} = I \vec{S} = I S \vec{n}$ является магнитным моментом элементарного контура, $\vec{n}$ – положительной нормалью к контуру. Тогда модуль $\vec{M}$ будет иметь вид:

$M = p_{m} B \sin a (7)$ , где $a$ – угол между векторами $\vec{p_{m}}$ и $\vec{B}$ .

При условии $\vec{p_{m}} ↑ ↑ \vec{B}$ магнитных сил, действующих на отдельные участки контура, не пытающихся повернуть или сдвинуть его, производят растягивание контура в плоскости. Случай $\vec{p_{m}} ⇅ \vec{B}$ говорит о сжатии контура с током в магнитном поле.

Для увеличения угла между векторами индукции магнитного поля и вектором магнитного момента элементарного тока на $d a$ должна совершиться работа против сил магнитного поля, которая равняется:

$d A = M d a = p_{m} B \sin a d a (8)$ .

Работа $(8)$ выполняется на увеличении потенциальной энергии $W_{p m e h}$ , которой обладает контур с током в магнитном поле:

$d W_{p m e h} = p_{m} B \sin a d a (9)$ .

После нахождения интеграла $(9)$ получаем:

$W_{p m e h} = - p_{m} B \cos a + c o n s t (10)$ .

Если предположить, что в $(10)$ $c o n s t = 0$ , то:

$W_{p m e h} = - p_{m} B \cos a = - \vec{p_{m}} \vec{B} (11)$ .

При параллельном ориентировании векторов $\vec{p_{m}}$ и $\vec{B}$ получаем минимум потенциальной энергии, иначе говоря, положение устойчивого равновесия. $W_{p m e h}$ является не полной потенциальной энергией контура с током, а только ее частью, обусловленной вращательным моментом.

Пример 1

Найти работу $А$ , которая должна быть совершена внешними силами для поворота контура с током относительно его оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол $\frac{π}{2}$ . При наличии в нем постоянного тока $I$ контур легко устанавливается в магнитном поле с индукцией $В$ . Значение стороны квадрата равно $a$ .

Решение

Для вычисления механического момента, действующего на контур, необходимо использовать формулу:

$M = p_{m} B \sin a (1.1)$ , где $a$ является углом между векторами $\vec{p_{m}}$ и $\vec{B}$ . Из условия следует, что контур с имеющейся силой тока находится в равновесии в поле с индукцией. Это говорит о значении момента силы, действующего на контур, равного нулю: $\vec{p_{m}} ↑ ↑ \vec{B}, a = 0$ .

Если задействовать внешнюю силу на контур, то ее работа по повороту контура на угол $d a$ будет равняться:

$d A = M d a (1.2)$ .

Произведем подстановку выражения $(1.1)$ в $(1.2)$ с $p_{m} = I S = I a^{2}$ :

$d A = I a^{2} B \sin a d a (1.3)$ .

От $(1.3)$ возьмем интеграл с условием $0 \leq a \leq \frac{π}{2}$ , тогда:

$A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} I a^{2} B \sin a d a = I a^{2} B \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin a d a = I a^{2} B$ .

Ответ: $A = I a^{2} B$ .

Элементарный ток в магнитном поле. Контур с током в однородном магнитном поле — Пример 2