Понятие о магнитном диполь-дипольном взаимодействии

Содержание:

24 августа 2023
7 минут
410

Преподаватель физики

К магнитному диполю относят небольшую петлю с током. Слово «небольшая» означает, что размеры витка с током немного меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током может создавать магнитное поле, которое можно уподобить электрическому при помощи электрического диполя. Магнитный диполь обладает магнитным моментом $\vec{p_{m}}$ и электрическим моментом диполя $\vec{p_{e}} = q \vec{l}$ .

Определение 1

Выражение $I \vec{S} = \vec{p_{m}} (1)$ получило название момента магнитного диполя.

По формуле $(1)$ видно, что величина по модулю равняется произведению силы тока, протекающего в контуре, на площадь, охваченную им. Магнитный момент и положительная нормаль к поверхности $S$ имеют одинаковое направление. Значение векторного потенциала магнитного диполя по формуле определено как:

$\vec{A} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{\vec{p_{m}} \times \vec{r}}{r^{3}} (2)$ .

Магнитное поле, создающее магнитный диполь, запишется:

$\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \{\frac{3 (\vec{p_{m}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{m}}}{r^{3}}\} (3)$ .

Если даны большие расстояния от диполя в любом направлении, то наблюдается пропорциональные $(r^{3})$ убывание поля и рост площади витка.

Слово диполь в применении к токам запутывает, так как не имеет отдельных магнитных полюсов, соответствующих электрическим зарядам. Создание магнитного «дипольного» поля происходит за счет элементарной петли с током, а не при помощи двух зарядов.

Взаимодействие магнитных диполей

Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков $(1)$ тока создает магнитное поле, описываемое формулой $(3)$ , другой $(2)$ , находясь в нем, взаимодействует с полем. Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то $(\vec{B} \neq c o n s t)$ . Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю. Элемент контура $(2)$ подвергается силе $\vec{d F}$ , перпендикулярной к вектору индукции поля, $\vec{B}$ , создающего диполь $(1)$ , то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка $\vec{d l}$ . Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя $2$ ) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.

При неизменной ориентации магнитного момента диполя $(2)$ , постоянной по отношению к полю диполя $(1)$ , легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей $W_{p m}$ от $x$ (через $B$ ) возможно по формуле:

$F_{x} = - \frac{\partial W_{p m}}{\partial x} = p_{m_{2}} \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \cos a (4)$ , где $B_{1}$ является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем $(1)$ , $p_{m_{2}}$ – магнитным моментом диполя $(2)$ , $a$ – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:

$F = F_{x} = p_{m_{2}} \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \cos a (5)$ .

Из выражения $(5)$ видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор $\vec{p_{m_{2}}} ↑ ↑ \vec{B_{1}} (a = 0)$ , тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания $\vec{B_{1}}$ (считается, что $\frac{\partial B_{1}}{\partial x} > 0$ ), кроме силы $F$ .

При действии на контур с током вращательного момента $\vec{M}$ :

$\vec{M} = [\vec{p_{m_{2}}} \vec{B_{1}}] (6)$ .

Модуль вектора $М$ запишется как:

$M = p_{m_{2}} B \sin a (7)$ .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами $\vec{p_{m i}}, \vec{p_{m j}}$ и располагаются в точках, определенных радиус-векторами $\vec{r_{i}} \vec{r_{j}}$ . Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

$W_{i j} = - \vec{p_{m i}}, \vec{B_{j}} (\vec{p_{m j}}, \vec{r_{j}}) = - \frac{μ_{0}}{4 π} \vec{p_{m i}}, \{\frac{3 (\vec{p_{m j}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{m j}}}{r^{3}}\} (8)$ .

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Пример 1

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Решение

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

$\vec{E} = \frac{1}{4 {πε}_{0} ε} (\frac{3 (\vec{p_{e}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{e}}}{r^{3}}) (1.1)$ , где $\vec{p_{e}} = q \vec{l}$ является электрическим моментом диполя.

По выражению $(1.1)$ наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

$\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \{\frac{3 (\vec{p_{m}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{m}}}{r^{3}}\} (1.2)$ , $\vec{p_{m}} = I \vec{S}$ обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из $(1.1)$ , $(1.2)$ , поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Пример 2

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Решение

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

$W_{i j} = - \vec{p_{m i}}, \vec{B_{j}} (\vec{p_{m j}}, \vec{r_{j}}) = - \frac{μ_{0}}{4 π} \vec{p_{m i}}, \{\frac{3 (\vec{p_{m j}} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{p_{m j}}}{r^{3}}\} (2.1)$ .

Где $\vec{p_{m i}}, \vec{p_{m j}}$ являются магнитными моментами диполей, $\vec{r_{i}}, \vec{r_{j}}$ – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование $(2.1)$ , тогда:

$W_{i j} = \frac{μ_{0}}{4 π} (\frac{p_{m j} p_{m i} {r_{i j}}^{2} - 3 (r_{i j} p_{m j}) (r_{i j} p_{m i})}{{r_{i j}}^{5}}) = \frac{μ_{0}}{4 π} p_{m j} p_{m j} \frac{\cos υ_{i j} - 3 \cos υ_{j} \cos υ_{i}}{{r_{i j}}^{3}} (2.2)$ , с $r_{i j} = r_{i} - r_{j}, υ_{i j}$ , являющимся углом между векторами $\vec{p_{m i}}, \vec{p_{m j}}$ .

Из $(2.2)$ понятно, что энергия $W_{i j}$ находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами $p_{m j} = p_{m i} = p$ , с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения: