Поток вектора магнитной индукции

Дан бесконечно длинный прямой проводник с током $I$, недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой $I\text{'}$. Сторона рамки равна $a$. Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке $2$. Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется $b$. Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.

Рисунок $2$

Решение

Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.

Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.

За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:

$A=I\text{'}\left({\Phi }_2-{\Phi }_1\right) (1.1)$, где $I\text{'}$ принимают за силу тока в рамке, ${\Phi }_1$ – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся $b$. ${\Phi }_2=0$. Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы $(1.1)$ изменится:

$A=-I\text{'}{\Phi }_1 (1.2)$.

Перейдем к нормали $\left(\overrightarrow{n}\right)$ и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью $\overrightarrow{n}$ и вектором $\overrightarrow{B}$ равняется $\pi$. Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии $х$ от провода примет вид:

$d\Phi =-BdS=-B·a·dx=-\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il\frac{dx}{x} (1.3)$, значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы $I$ будет:

$B=\frac{{\mu }_0}{2\pi x}Il (1.4)$.

Отсюда следует, что для нахождения всего потока из $(1.3)$ потребуется:

${\Phi }_1={\int }_S-\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il\frac{dx}{x}=-\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il{\int }_b^{b+a}\frac{dx}{x}=-\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il·\ln \frac{b+a}{b} (1.5)$.

Произведем подстановку формулы $(1.5)$ в $(1.2)$. Искомая работа равняется:

$A=I\text{'}\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il·\ln \frac{b+a}{b}$.

Ответ: $A=\frac{{\mu }_0}{2\pi }II\text{'}l·\ln \frac{b+a}{b}$.

Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

Решение

Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние $dx$. Это говорит о совершении силой работы, равной:

$\delta A=Fdx (2.1)$.

Элементарная работа $\delta A$ может быть выражена как:

$\delta A=I\text{'}d\Phi (2.2)$.

Произведем то же с силой, применяя формулы $(2.1), (2.2)$. Получаем:

$Fdx=I\text{'}d\Phi \to F=I\text{'}\frac{d\Phi }{dx} (2.3)$.

Используем выражение, которое было получено в примере $1$:

$d\Phi =-\frac{{\mu }_0}{2\pi }Il\frac{dx}{x}\to \frac{d\Phi }{dx}=-\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{Il}{x} (2.4)$.

Произведем подстановку $\frac{d\Phi }{dx}$ в $(2.3)$. Имеем:

$F=I\text{'}\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{Il}{x} (2.5)$.

Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует $4$ силы, причем на стороны $AB$ и $DC$ равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

$\overrightarrow{F_{AB}}+\overrightarrow{F_{DC}}=0 (2.6)$, то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_{AD}}+\overrightarrow{F_{BC}} (2.6)$.

Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

$F=F_{AD}-F_{BC} (2.7)$.

Произведем поиск силы $F_{AD}$, действующей на сторону $AD$, применив формулу $(2.5)$, где $x=b$:

$F_{AD}=I\text{'}\frac{{м}_0}{2\mathrm{\pi }}\frac{Il}{b} (2.8)$.

Значение $F_{BC}$ будет:

$F_{BC}=I\text{'}\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{Il}{b+a} (2.9)$.

Для нахождения искомой силы:

$F=I\text{'}\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{Il}{b}-I\text{'}\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{Il}{b+a}=II\text{'}\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi }\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+a}\right)$.

Ответ: $F=II\text{'}\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi }\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+a}\right)$. Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.