Поток вектора магнитной индукции

Определение 1

Магнитный поток $(Φ)$ $(Φ)$ через площадку $S$ $S$ (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:

$Φ = B S cos α = B_{n} S = \to B \to S$ $Φ = B S \cos α = B_{n} S = \vec{B} \vec{S}$ с углом между $\to n$ $\vec{n}$ и $\to B$ $\vec{B}$ , обозначаемым $α$ $α$ , $\to n$ $\vec{n}$ является нормалью к площадке $S$ $S$ .

Формула магнитного потока

$Φ$ $Φ$ равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку $S$ $S$ , как показано на рисунке $1$ $1$ . Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке $S$ $S$ . Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.

Формула магнитного потока

Рисунок $1$ $1$

В чем измеряется магнитный поток

В случае неоднородности магнитного поля $S$ $S$ не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки $d S$ $d S$ , рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока $d Φ$ $d Φ$ производится через эту поверхность. Запись примет вид:

$d Φ = B d S cos α = \to B d \to S$ $d Φ = B d S \cos α = \vec{B} d \vec{S}$ .

Нахождение полного потока через поверхность $S$ $S$ :

$Φ = \int_{S} B d S cos α = \int_{S} \to B d \to S$ $Φ = \int_{S} B d S \cos α = \int_{S} \vec{B} d \vec{S}$ .

Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы $(В б)$ . $1 В б = \frac{1 Т л}{1 м^{2}}$ .

Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля

Элементарная работа $(δ A)$ , совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции $(d Φ)$ :

$δ A = I d Φ$ .

Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:

$A = I (Φ_{2} - Φ_{1})$ с $Φ_{1}$ , обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, $Φ_{2}$ является потоком через контур в конце перемещения.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность $S$ равняется нулю:

$\oint \vec{B} d \vec{S} = 0$ .

Выражение $\oint \vec{B} d \vec{S} = 0$ является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:

$\oint \vec{E} d \vec{S} = \frac{q}{ε_{0}}$ .

Запись $\oint \vec{B} d \vec{S} = 0$ говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.

Теорема Гаусса для магнитного поля — Пример 1

Пример 2

Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

Решение

Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние $d x$ . Это говорит о совершении силой работы, равной:

$δ A = F d x (2.1)$ .

Элементарная работа $δ A$ может быть выражена как:

$δ A = I' d Φ (2.2)$ .

Произведем то же с силой, применяя формулы $(2.1), (2.2)$ . Получаем:

$F d x = I' d Φ \to F = I' \frac{d Φ}{d x} (2.3)$ .

Используем выражение, которое было получено в примере $1$ :

$d Φ = - \frac{μ_{0}}{2 π} I l \frac{d x}{x} \to \frac{d Φ}{d x} = - \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I l}{x} (2.4)$ .

Произведем подстановку $\frac{d Φ}{d x}$ в $(2.3)$ . Имеем:

$F = I' \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I l}{x} (2.5)$ .

Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует $4$ силы, причем на стороны $A B$ и $D C$ равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

$\vec{F_{A B}} + \vec{F_{D C}} = 0 (2.6)$ , то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

$\vec{F} = \vec{F_{A D}} + \vec{F_{B C}} (2.6)$ .

Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

$F = F_{A D} - F_{B C} (2.7)$ .

Произведем поиск силы $F_{A D}$ , действующей на сторону $A D$ , применив формулу $(2.5)$ , где $x = b$ :

$F_{A D} = I' \frac{м_{0}}{2 π} \frac{I l}{b} (2.8)$ .

Значение $F_{B C}$ будет:

$F_{B C} = I' \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I l}{b + a} (2.9)$ .

Для нахождения искомой силы:

$F = I' \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I l}{b} - I' \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I l}{b + a} = I I' \frac{μ_{0} l}{2 π} (\frac{1}{b} - \frac{1}{b + a})$ .

Ответ: $F = I I' \frac{μ_{0} l}{2 π} (\frac{1}{b} - \frac{1}{b + a})$ . Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.