- 9 мая 2023
- 6 минут
- 7 880
Самоиндукция. Энергия магнитного поля
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Самоиндукция – это значимый частный случай электромагнитной индукции, когда магнитный поток, изменяясь и вызывая ЭДС индукции, создается током в самом контуре.
В случае, когда ток рассматриваемого контура по каким-либо причинам изменен, то имеет место изменение и магнитного поля этого тока, а значит и собственного магнитного потока, проходящего через контур. В контуре создается ЭДС самоиндукции, создавая препятствие для изменений тока в контуре (по правилу Ленца).
Собственный магнитный поток ΦΦ, который проходит через контур или катушку с током, является пропорциональным силе тока II: Φ=LIΦ=LI.
Коэффициент пропорциональности LL в формуле Φ=LIΦ=LI есть коэффициент самоиндукции или индуктивность катушки. Единица индуктивности в СИСИ носит название генри (Гн)(Гн). Индуктивность контура или катушки равна 1 Гн1 Гн, когда при силе постоянного тока 1 А1 А собственный поток составляет 1 Вб1 Вб: 1 Гн=1 Вб1 А1 Гн=1 Вб1 А.
Расчет индуктивности
Для наглядности произведем расчет индуктивности длинного соленоида, который имеет NN витков, площадь сечения SS и длину ll. Соленоид – это цилиндрическая катушка индуктивности, у которой длина много больше диаметра. Магнитное поле соленоида задается формулой:
B=μ0nIB=μ0nI,
где II является обозначением тока в соленоиде, n = Nen = Ne указывает число витков на единицу длины соленоида.
Магнитный поток внутри катушки соленоида, проходящий через все N витков, составляет:
Φ=B·S·N=μ0n2SlΦ=B⋅S⋅N=μ0n2Sl
Таким образом, индуктивность соленоида будет выражена формулой:
L=μ0n2S·l=μ0n2VL=μ0n2S⋅l=μ0n2V,
где V=SlV=Sl – объем соленоида, содержащий магнитное поле.
Результат, который мы получили, не берет в расчет краевых эффектов, а значит он является приближенно верным лишь для катушек достаточной длины. Когда соленоид заполнен веществом, имеющим магнитную проницаемость μμ, при заданном токе II индукция магнитного поля будет возрастать по модулю в μμ раз, а значит и индуктивность катушки с сердечником тоже получит увеличение в μμ раз:
Lμ=μ·L=μ0·μ·n2·VLμ=μ⋅L=μ0⋅μ⋅n2⋅V.
ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке при постоянном значении индуктивности, в соответствии с законом Фарадея записывается в виде формулы:
δинд=δL=-∆Φ∆t=-L∆I∆tδинд=δL=−ΔΦΔt=−LΔIΔt.
ЭДС самоиндукции является прямо пропорциональной индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.
Магнитное поле выступает носителем энергии. Так же, как заряженный конденсатор обладает запасом электрической энергии, катушка, по виткам которой проходит ток, обладает запасом магнитной энергии. Включив электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, при размыкании ключа будем наблюдать короткую вспышку лампы (рис. 1.21.11.21.1). Ток в цепи появится под влиянием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, которая будет выделяться в этом процессе электрической цепью, будет служить магнитное поле катушки.
Рисунок 1.21.1.1.21.1. Магнитная энергия катушки. В момент размыкания ключа KK лампа ярко вспыхнет.
Закон сохранения энергии позволяет говорить, что вся энергия, составляющая запас катушки, будет выделена в виде джоулева тепла. Обозначим как RRполное сопротивление цепи, тогда за время ΔtΔt будет выделено количество теплоты ΔQ=I2·R·ΔtΔQ=I2⋅R⋅Δt.
Ток в цепи составляет:
I=δLR=-LR∆I∆tI=δLR=−LRΔIΔt
Выражение для ΔQΔQ можем записать так:
∆Q=-L·I·∆I=-Φ(I)∆IΔQ=−L⋅I⋅ΔI=−Φ(I)ΔI
В данной записи ΔI < 0ΔI < 0; значение тока в цепи постепенно снижается от изначального I0I0 до нуля. Полное количество теплоты, которое выделится в цепи, возможно получить, осуществив действие интегрирования в пределах от I0I0 до 00. Тогда получим:
Q=LI202Q=LI202
Графический вывод формулы
Существует возможность получить записанную формулу, используя графический метод. Для этого отобразим на графике зависимость магнитного потока Φ(I)Φ(I) от тока II (рис. 1.21.21.21.2). Полное количество выделившейся теплоты, которое равно изначальному запасу энергии магнитного поля, определится как площадь получившегося на рис. 1.21.21.21.2 треугольника:
Рисунок 1.21.2.1.21.2. Вычисление энергии магнитного поля.
В итоге формула энергии WмWм магнитного поля катушки с индуктивностью LL, создаваемого током II, будет записана в виде формулы:
Wм=ΦI2=LI22=Φ22LWм=ΦI2=LI22=Φ22L
Используем выражение, которое мы получили, для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Применяя указанные выше формулы для коэффициента самоиндукции LμLμ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током II, получим запись:
Wм=μ0·μ·n2·I22V=B22μ0·μVWм=μ0⋅μ⋅n2⋅I22V=B22μ0⋅μV
В этой формуле VV является объемом соленоида. Полученное выражение демонстрирует нам, что магнитная энергия имеет локализацию не в витках катушки, по которым проходит ток, а распределена по всему объему, в котором возникло магнитное поле.
Объёмная плотность магнитной энергии – это физическая величина, которая равна энергии магнитного поля в единице объема: Wм=B22μ·μWм=B22μ⋅μ.
В свое время Максвелл продемонстрировал, что указанная формула (в нашем случае выведенная для длинного соленоида) верна для любых магнитных полей.
Сохранить статью удобным способом