Закон электромагнитной индукции Фарадея и его формулировка в дифференциальной форме

Фарадей был первым, кто обнаружил явление электромагнитной индукции. Это случилось в ходе опыта, когда он исследовал изменение потока магнитной индукции в замкнутом проводнике и выявил, что при этом вырабатывается электрический ток. Определение направления ЭДС индукции осуществляется согласно правилу, сформулированному Ленцем.

Определение 1

Направление индукционного потока препятствует изменению магнитного потока через создаваемое им поле.

Определение 2

Нейман определил закон электромагнитной индукции математически, и этой формулировкой мы пользуемся по сей день: $ε_{i} = - \frac{d Φ}{d t}$ $ε_{i} = - \frac{d Φ}{d t}$ .

В нем не учитываются возможные движения контура. Соотношение $\frac{d Φ}{d t}$ $\frac{d Φ}{d t}$ является выражением полной скорости изменения потока индукции, который охватывается проводником при его движении и деформации, а также при изменениях магнитного поля.

Закон Фарадея для электромагнитной индукции очень важен, поскольку он является выражением нового физического явления: когда магнитное поле изменяется, оно порождает электрическое, т.е. электрическое поле может возникать не только при помощи электрических зарядов. Здесь необходимо учитывать одно важное замечание:

Определение 3

Движение магнитов может порождать электрический ток даже при неподвижных проводниках.

Электромагнитная индукция является одним из фундаментальных природных законов, устанавливающим связь между магнитным или электрическим полями.

Закон Фарадея в дифференциальной форме

Чтобы сформулировать закон Фарадея в такой форме, нам потребуется вспомнить несколько базовых формул.

ЭДС индукции: $ε_{i} = - υ B l$ $ε_{i} = - υ B l$ .
Магнитный поток: $Φ = \int_{S} B_{n} d S$ $Φ = \int_{S} B_{n} d S$ .
Теорема Стокса: $\oint_{l} = \to a d l = \int_{S} r o t_{n} \to a d S$ $\oint_{l} = \vec{a} d l = \int_{S} r o t_{n} \vec{a} d S$ .

Используя данные выражения, мы можем записать следующую формулу:

$\oint_{C} (E d l) = \int_{S} (n r o t E) d S = - \frac{1}{c} \int_{S} (n \frac{\partial B}{\partial t}) d S$ $\oint_{C} (E d l) = \int_{S} (n r o t E) d S = - \frac{1}{c} \int_{S} (n \frac{\partial B}{\partial t}) d S$ .

Здесь $S$ $S$ обозначает поверхность, натянутую на контур $S$ $S$ . Поскольку значение $S$ $S$ является произвольным, то мы можем записать:

Определение 4

$r o t E = - \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}$ $r o t E = - \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}$ .

Это и есть дифференциальная форма закона Фарадея, которая описывает возникновение электрического поля в точке при изменении магнитного поля в том же месте. Само поле при этом называется индукционным.

Определение 5

Индукционное поле не является потенциальным, в отличие от электростатического, а работа по перемещению заряда в нем по замкнутому контуру не является нулевой.

Задачи на применение закона Фарадея

Пример 1

Условие: проволочный контур помещен в магнитное поле. В нулевой момент времени он пронизывает поток магнитной индукции, равный $Φ_{1}$ $Φ_{1}$ и уменьшающийся после этого до $0$ $0$ . Найдите величину заряда, проходящего по цепи.

Решение

Начнем с определения мгновенного значения ЭДС. Это можно сделать с помощью формулы:

$ε_{i} = - \frac{d Φ}{d t}$ $ε_{i} = - \frac{d Φ}{d t}$ .

Вспомним закон Ома. Согласно ему, мгновенное значение силы тока может быть записано в следующем виде:

$I = - \frac{1}{R} \frac{d Φ}{d t}$ $I = - \frac{1}{R} \frac{d Φ}{d t}$ .

Полное сопротивление цепи здесь обозначено буквой $R$ $R$ .

Для нахождения заряда, идущего по цепи, нам пригодится выражение:

$q = \int I d t$ $q = \int I d t$ .

Поставим эти выражения в нужную формулу и получим:

$q = - \frac{1}{R} \int_{Φ_{1}}^{0} d Φ = \frac{Φ}{R}$ $q = - \frac{1}{R} \int_{Φ_{1}}^{0} d Φ = \frac{Φ}{R}$ .

Автором этой формулы является Фарадей. Он эмпирически подтвердил прямую пропорциональность величины заряда, идущего по цепи, количеству линий магнитной индукции, пересекающей проводник, и его обратную пропорциональность величине сопротивления в цепи.

Ответ: $q = \frac{Φ}{R}$ $q = \frac{Φ}{R}$ .