Свободные колебания. Пружинный маятник

7 июля 2023
5 минут
1 206

Преподаватель физики

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

$F (t) = m a (t) = - m ω^{2} x (t)$ .

Соотношение говорит о том, что $ω$ является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

$F_{у п р} = - k x$ .

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой $m$ , прикрепляющийся к пружине жесткости $k$ с неподвижным концом, изображенным на рисунке $2.2.1$ , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Свободные колебания. Пружинный маятник — Определение 3

Круговая частота

Нахождение круговой частоты $ω_{0}$ производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

$m a = - k x = m ω_{0}^{2} x$ .

Значит, получаем:

$ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Определение 4

Частоту $ω_{0}$ называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине $Т$ находится из формулы:

$T = \frac{2 π}{ω_{0}} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

$x_{0} = \frac{m g}{k}$ , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты $ω_{0}$ и периода колебаний $Т$ в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела $а$ и координатой $х$ поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела $х$ по времени $t$ :

$a (t) = x (t)$ .

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

$m a - m x = - k x$ , или $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ , где свободная частота $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ .

Если физические системы зависят от формулы $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется $x = x_{m} \cos (ω t + φ_{0})$ .

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний $ω_{0}$ или период $Т$ .

Амплитуда $x_{m}$ и начальная фаза $φ_{0}$ находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние $∆ l$ и моменте времени, равном $t = 0$ , производится его опускание без начальной скорости. Тогда $x_{m} = ∆ l, φ_{0} = 0$ . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость $\pm υ_{0}$ , отсюда $x_{m} = \sqrt{\frac{m}{k}} υ_{0}, φ_{0} = \pm \frac{π}{2}$ .

Амплитуда $x_{m}$ с начальной фазой $φ_{0}$ определяются наличием начальных условий.

Свободные колебания

Рисунок $2.2.2 .$ Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок $2.2.2$ показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол $θ$ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения $M_{у п р}$ :

$M_{у п р} = - x θ$ .

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина $x$ аналогична $k$ жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

$I ε = M_{у п р} = - x θ$ или $I \ddot{θ} = - x θ$ , где моментом инерции обозначается $I = I_{C}$ , а $ε$ – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

$ω_{0} = \sqrt{\frac{x}{I}}, T = 2 π \sqrt{\frac{I}{x}}$ .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Свободные колебания

Рисунок $2.2.3 .$ Крутильный маятник.