Парциальное давление и объем

Когда мы имеем дело со смесями газов, важно знать, что они имеют такие характеристики, как парциальный объем и парциальное давление. Для начала определим, что такое смесь идеальных газов.

Определение 1

Смесь идеальных газов – это смесь нескольких газообразных веществ, которые при заданных условиях не будут вступать в определенные химические реакции.

При смене условий (например, повышении температуры, понижении давления) газовая смесь все же может вступать во взаимодействие. Важный параметр любой такой смеси – так называемая весовая концентрация $g_{i} i$ $g_{i} i$ -ного газа-компонента.

Здесь:

$N$ $N$ – количество газов, из которых состоит смесь;
$x_{i} i$ $x_{i} i$ -го газа – молярная концентрация указанного газа в составе смеси;
$ν_{i}$ $ν_{i}$ – количество молей $i$ $i$ -го газа, присутствующего в смеси.

Понятие парциального давления

Парциальное давление – это особая характеристика, описывающая состояние компонентов смеси идеальных газов. Сформулируем основное определение:

Определение 2

Парциальным называется давление $(p_{i})$ $(p_{i})$ , которое могло бы создаваться $i$ $i$ -ым газом в смеси при условии отсутствия остальных газов и сохранения исходного объема и температуры.

Формула парциального давления будет выглядеть так:

$p_{i} = \frac{m_{i}}{μ_{i}} \frac{R T}{V} = μ_{i} \frac{R T}{V}$ $p_{i} = \frac{m_{i}}{μ_{i}} \frac{R T}{V} = μ_{i} \frac{R T}{V}$

Объем смеси здесь обозначен буквой $V$ $V$ , ее температура – $T$ $T$ .

Следует подчеркнуть, что поскольку средние кинетические энергии молекул смеси равны, то существует и равенство температур всех компонентов газовой смеси, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Для нахождения давления смеси идеальных газов нужно воспользоваться законом Дальтона в следующей формулировке:

$p = \sum_{i = 1}^{N} p_{i} = \frac{R T}{V} \sum_{i = 1}^{N} ν_{i}$ $p = \sum_{i = 1}^{N} p_{i} = \frac{R T}{V} \sum_{i = 1}^{N} ν_{i}$

Исходя из него, мы можем выразить парциальное давление так:

$p_{i} = x_{i} p$ $p_{i} = x_{i} p$ .

Понятие парциального объема

У газовой смеси также есть такая характеристика, как парциальный объем.

Определение 3

Парциальный объем $V_{i} i$ $V_{i} i$ -газа в газовой смеси – это такой объем, который мог бы иметь газ при условии отсутствия всех остальных газов и сохранении исходной температуры и объема.

Если речь идет о смеси идеальных газов, то к ней применим закон Амага:

$V = \sum_{i = 1}^{N} V_{i}$ $V = \sum_{i = 1}^{N} V_{i}$

В самом деле, при выражении $ν_{i}$ $ν_{i}$ из формулы выше у нас получится следующее:

$ν_{i} = \frac{p V_{i}}{R T}; p = \frac{R T}{V} \frac{p}{R T} \sum_{i = 1}^{N} V_{i} \to V = \sum_{i = 1}^{N} V_{i}$ $ν_{i} = \frac{p V_{i}}{R T}; p = \frac{R T}{V} \frac{p}{R T} \sum_{i = 1}^{N} V_{i} \to V = \sum_{i = 1}^{N} V_{i}$

Для расчета парциального объема газа используется следующая формула:

$V_{i} = x_{i} V$ $V_{i} = x_{i} V$ .

Нам известно, что параметры, определяющие состояние смеси идеальных газов, будут подчиняться уравнению Менделеева-Клайперона. Формула будет выглядеть так:

$p V = \frac{m}{μ_{s m}} R T$ $p V = \frac{m}{μ_{s m}} R T$ .

Все параметры данного уравнения будут относиться ко всей смеси. Это же уравнение удобнее записать так:

$p V = m R_{s m} T$ $p V = m R_{s m} T$ .

Здесь параметры $R_{s m} = \frac{R}{μ_{s m}} = R \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{μ_{i}}$ $R_{s m} = \frac{R}{μ_{s m}} = R \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{μ_{i}}$ означают удельную газовую постоянную смеси.

Пример 1

Условие: имеется сосуд объемом $1 м^{3}$ $1 м^{3}$ , в котором находится $0, 10 \cdot 10^{- 3} к г$ $0, 10 \cdot 10^{- 3} к г$ гелия и $0, 5 \cdot 10^{- 3} к г$ $0, 5 \cdot 10^{- 3} к г$ водорода. Постоянная температура равна $290 К$ $290 К$ . Вычислите давление смеси и парциальное давление гелия в нем.

Решение

Начнем с вычисления количества молей каждого компонента смеси. Для этого можно использовать формулу:

$ν_{i} = \frac{m_{i}}{μ_{i}}$ $ν_{i} = \frac{m_{i}}{μ_{i}}$

Зная, что молярная масса водорода, согласно таблице Менделеева, составляет $μ_{H_{2}} = 2 \cdot 10^{- 3} \frac{к г}{м о л ь}$ $μ_{H_{2}} = 2 \cdot 10^{- 3} \frac{к г}{м о л ь}$ , мы можем найти количество его молей в смеси по формуле:

$ν_{H_{2}} = \frac{m_{H_{2}}}{μ_{H_{2}}}$ $ν_{H_{2}} = \frac{m_{H_{2}}}{μ_{H_{2}}}$

Считаем, что получится:

$ν_{H_{2}} = \frac{0, 5 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 3}} = 0, 25 (м о л ь)$ $ν_{H_{2}} = \frac{0, 5 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 3}} = 0, 25 (м о л ь)$ .

Точно такие же расчеты проводим и для гелия, зная, что $μ_{H e} = 4 \cdot 10^{- 3} \frac{к г}{м о л ь}$ $μ_{H e} = 4 \cdot 10^{- 3} \frac{к г}{м о л ь}$ :

Теперь с помощью уравнения Менделеева-Клайперона можно найти парциальное давление каждого компонента:

$p_{i} V = ν_{i} R T$ $p_{i} V = ν_{i} R T$ .

Сначала рассчитаем давление водорода:

$p_{H_{2}} V = ν_{H_{2}} R T \to p_{H_{2}} = \frac{ν_{H_{2}} R T}{V}$ $p_{H_{2}} V = ν_{H_{2}} R T \to p_{H_{2}} = \frac{ν_{H_{2}} R T}{V}$

Парциальное давление будет равно:

$p_{H_{2}} = \frac{0, 25 \cdot 8, 31 \cdot 290}{1} = 602, 5 (П а)$ $p_{H_{2}} = \frac{0, 25 \cdot 8, 31 \cdot 290}{1} = 602, 5 (П а)$ .

Теперь то же самое подсчитываем для гелия:

$p_{H e} = \frac{0, 025 \cdot 8, 31 \cdot 290}{1} = 60, 25 (П а)$ $p_{H e} = \frac{0, 025 \cdot 8, 31 \cdot 290}{1} = 60, 25 (П а)$ .

Чтобы найти общее давление смеси газов, сложим сумму давлений ее составляющих:

$p = p_{H_{2}} + p_{H e}$ $p = p_{H_{2}} + p_{H e}$

Подставляем полученные ранее значения и находим нужный результат:

$p = 602, 5 + 60, 25 = 662, 75 (П а)$ $p = 602, 5 + 60, 25 = 662, 75 (П а)$ .

Ответ: общее давление смеси составляет $662, 75 П а$ $662, 75 П а$ , а парциальное давление гелия в смеси равно $60, 25 П а$ $60, 25 П а$ .

Пример 2

Условие: дана смесь газов, состоящая из $1 к г$ $1 к г$ углекислого газа и $0, 5 к г$ $0, 5 к г$ $O_{2}$ $O_{2}$ . Если считать их идеальными, какой объем они будут занимать при давлении в $1 а т м$ $1 а т м$ ? Температура смеси равна $300 К$ $300 К$ .

Решение

Начнем с вычисления общей массы газовой смеси.

$m = m_{O_{2}} + m_{C O_{2}}$ $m = m_{O_{2}} + m_{C O_{2}}$

Значит, $m = 1 + 0, 5 = 1, 5$ $m = 1 + 0, 5 = 1, 5$ .

Переходим к вычислению массовых компонентов смеси:

$g_{O_{2}} = \frac{0, 5}{1, 5} = 0, 33; g_{C O_{2}} = \frac{1}{1, 5} = 0, 67 .$ $g_{O_{2}} = \frac{0, 5}{1, 5} = 0, 33; g_{C O_{2}} = \frac{1}{1, 5} = 0, 67 .$

Тогда газовая постоянная смеси будет равна:

$R_{s m} = R \sum_{i = 1}^{N} \frac{g_{i}}{μ_{i}}$ $R_{s m} = R \sum_{i = 1}^{N} \frac{g_{i}}{μ_{i}}$

$R_{s m} = 8, 31 (\frac{0, 33}{32 \cdot 10^{- 3}} + \frac{0, 67}{46 \cdot 10^{- 3}}) = 200 (\frac{Д ж}{к г К})$ $R_{s m} = 8, 31 (\frac{0, 33}{32 \cdot 10^{- 3}} + \frac{0, 67}{46 \cdot 10^{- 3}}) = 200 (\frac{Д ж}{к г К})$ .

Объем смеси вычисляем с помощью уравнения Менделеева-Клайперона:

$V_{s m} = \frac{m_{s m} R_{s m} T_{s m}}{p_{s m}}$ $V_{s m} = \frac{m_{s m} R_{s m} T_{s m}}{p_{s m}}$

Вспомнив, что по условию давление равно $1 а т м$ $1 а т м$ , что равно $10^{5} П а$ $10^{5} П а$ , вычислим объем:

$V_{s m} = \frac{1, 5 \cdot 200 \cdot 300}{10^{5}} = 0, 9 м^{3}$ $V_{s m} = \frac{1, 5 \cdot 200 \cdot 300}{10^{5}} = 0, 9 м^{3}$ .

Ответ: при указанных условиях смесь займет объем, равный $0, 9$ $0, 9$ $м^{3}$ $м^{3}$ .