Постоянная Больцмана

Содержание:

16 июня 2023
7 минут
2143

Преподаватель физики

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный $k = 1, 38 \cdot 10^{- 23} \frac{Д ж}{К}$ , является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Определение 1

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от $T_{0} = 273 К$ до $T_{1} = 373 К$ приводит к изменению его давления от $p_{0} = 1, 013 \cdot 10^{5} П а$ до $p_{0} = 1, 38 \cdot 10^{5} П а$ . Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно $6 \cdot 10^{23}$ , а объем при давлении в $1 а т м$ равен $V = 22, 4 л$ . С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана $k$ :

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра $k$ :

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Обозначив модуль кручения как $L$ , момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как $J$ , а угол поворота зеркала как $φ$ , можем записать уравнение колебаний следующего вида:

Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на $φ$ , проинтегрируем результат и получим:

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно $290 К$ , а модуль кручения $L \approx 10^{- 15} Н \cdot м; <φ> \approx 4 \cdot 10^{- 6}$ , то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

$<E> = \frac{3}{2} k T$ .

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример 1

Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из $N$ -атомных молекул при температуре $T$ , зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

Решение

Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна $<ε_{i}> = \frac{1}{2} k T$ . Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

$<ε> = \frac{i}{2} k T$ , где $i = m_{p o s t} + m_{υ r} + 2 m_{k o l}$ представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой $k$ обозначена постоянная Больцмана.

Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

$m_{p o s t} = 3, m_{υ r} = 3$ , значит, $m_{k o l} = 3 N - 6$ .

$i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6; <ε> = \frac{6 N - 6}{2} k T = (3 N - 3) k T .$

Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна $<ε> = (3 N - 3) k T .$

Пример 2

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов $(μ_{1}, μ_{2})$ .

Решение

Сначала вычислим общую массу смеси.

$m = ρ V = N_{1} m_{01} + N_{2} m_{02} = n_{1} V m_{01} + n_{2} V m_{02} \to ρ = n_{1} m_{01} + n_{2} m_{02}$ .

Параметр $m_{01}$ обозначает массу молекулы одного газа, $m_{02}$ – массу молекулы другого, $n_{2}$ – концентрацию молекул одного газа, $n_{2}$ – концентрацию второго. Плотность смеси равна $ρ$ .

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

$n_{1} = \frac{ρ - n_{2} m_{02}}{m_{01}}; n_{2} = n - n_{1} \to n_{1} = \frac{ρ - (n - n_{1}) m_{02}}{m_{01}} \to n_{1} = \frac{ρ - n m_{02} + n_{1} m_{02}}{m_{01}} \to n_{1} m_{01} - n_{1} m_{02} = ρ - n m_{02} \to n_{1} (m_{01} - m_{02}) = ρ - n m_{02} .$

Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

$p = n k T \to n = \frac{p}{k T}$ .

Подставим полученное равнее значение:

$n_{1} (m_{01} - m_{02}) = ρ - \frac{p}{k T} m_{02} \to n_{1} = \frac{ρ - \frac{p}{k T} m_{02}}{(m_{01} - m_{02})}$ .

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

$m_{01} = \frac{μ_{1}}{N_{A}}, m_{02} = \frac{μ_{2}}{N_{A}}$ .

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно $1 а т м$ , а температура $290 К$ . Значит, мы можем считать задачу решенной.

Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как $n_{1} = \frac{ρ - \frac{p}{k T} m_{02}}{(m_{01} - m_{02})}$ , где $m_{01} = \frac{μ_{1}}{N_{A}}, m_{02} = \frac{μ_{2}}{N_{A}}$ .