Закон распределения молекул по скоростям

Определение 1

С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке $1$ .

Закон распределения молекул по скоростям

Рисунок $1$

Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: "Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей"?

Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем $d ω = d υ_{x} d υ_{y} d υ_{z}$ , то в нем окажется $d N_{υ}$ молекул. Обозначим буквой $N$ число молекул газа, тогда $f (v)$ будет некоторой функцией скорости.

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Распределение Максвелла

Рисунок $2$

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой $d υ$ . Разделим найденное выше число на количество частиц $(N)$ и получим вероятность $(d W_{υ})$ того, что пределы модуля скорости молекулы равны $υ - υ + d v$ .

Здесь $F (v)$ является функцией распределения вероятности значения $v$ . Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Определение 2

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

$d N_{υ} = N 4 π {(\frac{m_{0}}{2 πkT})}^{\frac{3}{2}} e x p (- \frac{m_{0} υ^{2}}{2 k T}) υ^{2} d υ$ .

Здесь $υ = \sqrt{{υ_{x}}^{2} + {υ_{y}}^{2} + {υ_{z}}^{2}}$ , масса молекулы равна $m_{0}$ , а $k$ – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

$d N = N f (υ_{x}) f (υ_{y}) f (υ_{z}) d υ_{x} d υ_{y} d υ_{z}$ .

Важно учесть, что:

$f (υ_{i}) = {(\frac{m_{0}}{2 πkT})}^{\frac{1}{2}} e x p (- \frac{m_{0} υ_{i}^{2}}{2 k T}) (i = x, y, z)$ .

Параметры $υ_{x}, υ_{y}, υ_{z}$ означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

$d N = N \frac{4}{\sqrt{π} {υ_{v e r}}^{3}} e x p (- {open\frac{υ}{υ_{v e r}}]}^{2} υ^{2}) d υ$ .

Здесь $υ_{υ e r}$ обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Рисунок $3$

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от $υ$ до $υ + d υ$ будет пропорциональна площади $d S$ , которая на графике обозначена штриховкой.

Определение 3

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

$\int_{0}^{\infty} f (υ) d υ = 1$ .

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Пример 1

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре $Т$ в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

$d N_{υ} = N 4 π {(\frac{m_{0}}{2 π k T})}^{\frac{3}{2}} e x p (- \frac{m_{0} υ^{2}}{2 k T}) υ^{2} d υ$ .

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

$\frac{d N_{υ}}{d υ} = N 4 π {(\frac{m_{0}}{2 πkT})}^{\frac{3}{2}} open2 υ_{υ e r} e x p (- \frac{m_{0} {υ_{υ e r}}^{2}}{2 k T}) - {υ_{υ e r}}^{2} \frac{m_{0} 2 υ_{υ e r}}{2 k T} e x p (- \frac{m_{0} {υ_{υ e r}}^{2}}{2 k T})] = 0$ ;

$2 υ_{υ e r} - {υ_{υ e r}}^{2} \frac{m_{0} 2 υ_{υ e r}}{2 k T} = 0 \to 1 - {υ_{υ e r}}^{2} \frac{m_{0}}{2 k T} = 0 \to {υ_{υ e r}}^{2} = \frac{2 k T}{m_{0}}$ .

$υ_{υ e r} = \sqrt{\frac{2 k T}{m_{0}}}$ .

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна $υ_{υ e r} = \sqrt{\frac{2 k T}{m_{0}}}$ .

Как выглядит распределение Максвелла на графике — Пример 2