Аддитивность масс системы. Закон сохранения массы

7 июня 2023
5 минут
1 497

Преподаватель физики

Даны два тела с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ , которые сталкиваются между собой и соединяются $d$ составное тело. Примером служит процесс слипания глиняных шаров после столкновения. Химическая или ядерная реакция, где атомы соединяются, образуя новую молекулу, также служат наглядным представлением. Необходимо найти массу составного тела $m$ , если известны $m_{1}$ и $m_{2}$ соединенных тел.

При прохождении процесса в инерциальной системе отсчета $S$ рассматривается столкновение. Скорости до него обозначают $υ_{1}$ и $υ_{2}$ , после – $υ$ . Основываясь на законе сохранения импульса, получаем:

$m_{1} υ_{1} + m_{2} υ_{2} = m υ$ .

Перейдем к рассмотрению этого же процесса в $S'$ системе отсчета, движущейся относительно $S$ прямолинейно и равномерно со скоростью $V$ .

По принципу относительности справедлив закон сохранения импульсов и в $S'$ . Запись принимает вид:

$m_{1} υ'_{1} + m_{2} υ'_{2} = m υ'$ .

Так как системы отсчета равноправны, то и массы тел в $S'$ такие же, как и в $S$ . Нерелятивистская физика указывает на то, что скорости $υ'_{1}, υ'_{2}, υ'$ из системы $S'$ имеют связь со скоростями $S$ системы соотношениями. Поэтому происходит преобразование $m_{1} υ'_{1} + m_{2} υ'_{2} = m υ'$ , основанное на $m_{1} υ_{1} + m_{2} υ_{2} = m υ$ . Тогда $m = m_{1} + m_{2}$ .

Определение 1

Масса составного тела равняется сумме составляющих тело масс. Это и называют аддитивностью массы.

Закон сохранения массы

Доказательство свойства аддитивности массы можно обобщить. Не нужно предполагать столкновения двух тел и что после него произойдет соединение тел. Химическая реакция, в которой реагирует несколько молекул или атомов – отличный аналог объяснения понятия аддитивности массы. Отсюда делаем заключение, что сумма масс веществ до и после реакции одинакова. Это объясняет закон сохранения массы.

Современный взгляд

В XX было обнаружено два свойства масс:

зависимость массы физического объекта от его внутренней энергии;
рост массы за счет поглощения внешней энергии и уменьшение при потере.

Получение закона сохранения массы является следствием галилеева принципа относительности. Последний – приближенный предельный случай эйнштейновского принципа относительности. В дорелятивистской физике закон сохранения массы и энергии считали двумя независимыми точными законами природы. Позже они потеряли свою независимость в релятивистской физике и были объединены в закон сохранения массы-энергии.

Определение 2

Закон сохранения массы-энергии звучит так:

Любая энергия имеет массу, равную количеству энергии, деленной на квадрат скорости света в вакууме. Химические реакции не подразумевают изменение массы вещества при малом энергетическом выходе. Масса может быть сохранена только в изолированной системе.

Изменение массы особенно ощущается во время ядерных реакций. Она не является аддитивной величиной: масса системы не равна сумме масс ее составляющих.

Пример 1

Примерами неаддитивности могут служить:

обладающие массами электрон и позитрон в состоянии аннигилировать в фотоны, которые не имеют массы поодиночке, но только в системе;
масса дейтрона, состоящего из $1$ протона и нейтрона, не равняется сумме масс составляющих, так как учитывается энергия взаимодействия частиц;
термоядерные реакции, происходящие внутри Солнца, показывают отсутствие равенства масс водорода и получившегося из него гелия;
масса протона $(\approx 938 М э В)$ в несколько десятков раз больше массы его составляющих кварков $(о к о л о 11 М э В)$ .

Примеры решения задач

Пример 2

Определить массу йодида натрия $NaI$ с количеством вещества, равным $1, 7 м о л ь$ .

Дано: $ν (NaI) = 1, 7 м о л ь$ .

Найти: $m (NaI)$ - ?

Решение

Молярная масса йодида натрия составляет:

$M (NaI) = M (Na) + M (I) = 23 + 127 = 150 г / м о л ь$ .

Производим вычисление молярной массы $NaI$ . Для этого

$m (NaI) = ν (NaI) \cdot M (NaI) = 1, 7 \cdot 150 = 2553$ .

Ответ: $m (NaI) = 2553$ .

Пример 3

Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы двух тел с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ при неупругом столкновении, если до него производилось движение со скоростями $υ_{1}$ и $υ_{2}$ .

Дано: $m_{1}, m_{2}, υ_{1}, υ_{2}$ .

Найти: $∆ E_{k}$ - ?

Решение

Формула кинетической энергии до столкновения тел имеет вид:

$E_{k} = \frac{m_{1} υ_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} υ_{2}^{2}}{2}$ .

После столкновения выражение становится:

$E_{k} = \frac{m_{c} υ_{c}^{2}}{2}$ , где значение $m_{c} = m_{1} + m_{2}$ - масса системы, согласно закону сохранения массы, а $υ_{c} = \frac{m_{1} υ_{1} + m_{2} υ_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ - скорость системы, следуя закону сохранения импульса.

Отсюда получаем, что приращением кинетической энергии замкнутой системы является формула $∆ E_{k} = \frac{- m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{{(υ_{1} - υ_{2})}^{2}}{2}$ .

Ответ: $∆ E_{k} = \frac{- m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{{(υ_{1} - υ_{2})}^{2}}{2}$ .